CHAPITRE II. — FONCTIONS MÉROMORPIIES

Jonction composée, à composante rationnelle, de plusieurs fonctions simples de x, méromorphes ou olotropes [méromorphe par suite (30, II)], quand x prend une valeur ol pour laquelle la théorie générale des fonctions composées n'est pas applicable {^4S*).

I. Supposons d^abord que la composante soit un polynôme entier, cas auquel il faut que Tune au moins des fonctions simples soît infinie pour j: = a, sans quoi la fonction composée se trouverait dans une phase ordinaire.

En développant toutes les fonctions simples en séries procédant suivant les puissances de x — a à exposants entiers, les premiers éventuellement négatifs (37), en substituant ces développements dans le poljrnome entier dont il s'agit, puis en effectuant les calculs (multiplications et additions de séries), on mettra la fonction composée, si elle ne se réduit pas identiquement à o, sous forme d'une série de même nature

où X est un entier (positif, nul ou négatif), où Hx, H)^i, ... sont des coefficients constants dont le premier peut être supposé non = o.

Cela posé, si X est nul ou positif, la fonction composée est olotrope en a, et, dans le second cas, admet cette valeur de x pour zéro de degré de multiplicité X.

Si X est négatif, la fonction composée n'est plus ololrope en a; elle a celte quantité pour infini de degré de multiplicité — X.

II. Supposons en second lieu que la composante soit une simple fraction, c'est-à-dire que la fonction considérée se réduise au rapport

de deux fonctions simples. Ici, il faut supposer pour la raison ci-dessus (I) qu'en x = a le dénominateur est nul ou infini, ou bien que le numérateur est infini.

38 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS D'UNK 8BULE VARIABLE.

D'après les n" 1 et 32, III, on peut, poser

U(a:) = (x-a)«U,(ar), V(ar) = (a:-a)XV,(2r),

OÙ M, N désignent certains entiers (positifs, nuls ou négatifs), et Ui{x)f V|(a7) des fonctions olotropes et non nulles en j: = a; moyennant quoi, la fonction composée considérée (i) prend la forme

ViC^j

Le dernier facteur de celte expression étant olotrope et non nul en 0? = a, on en conclut que :

Si M >> N; la fonction (i) est olotrope en a, et admet cette quantité pour zéro de degré M — N ;

Si M = N, cette fonction est encore olotrope en a, mais ne s'y évanouit pas;

Si M < N, elle n'y est plus olotrope, mais elle offre a pour infini de degré N — M.

III. Tous les autres cas de la question qui nous occupe se traitent évidemment par la combinaison de ces deux procédés.

45. L'étude d'une fonction composée de cette nature, pour des valeurs infinies de x, se ramène évidemment à la question qui vient d'être traitée, quand le changement de variable (148^)

transforme toutes les fonctions simples en des fonctions de x' qui sont méromorphes en x'=o. C'est ce qui a lieu, non toujours assurément, mais quelquefois, par exemple, pour des fonctions simples rationnelles (50, II, in/.).

46. La méthode de discussion que nous venons d'expliquer embrasse la plupart de ces expressions dites se présenter sous les

formes -, -> o x oo, oo — oc, . . . , mais non toutes.

Quand il s'agit seulement du rapport (i), et que ses termes sont