CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES DU SECOND ORDRE
des fonctions bipériodiques de y, aux périodes II, û communes aux trois seconds membres.
En y ayant égard, et en raisonnant exactement de la même manière sur l'équation (i3), on constatera que les trois autres
rapports -—> -^9 — sont de même nature que les précédents; en
d'autres termes, les 7 coefficients Lq, ... sont proportionnels, égaux même comme on peut évidemment le supposer, à autant de fonctions bipériodiques de y aux périodes H, û, partant exprimables en f{y)y f'{y) par des formules du genre de (7). Ces raisonnements supposent que No n'est pas =0, quelle que solt^; or c'est ce qui a lieu. Car autrement, on aurait, quelles que fussent X et y^ f{x +y) :^/(S — x -\-y) =f{^ — JK)j identité dont la fausseté est évidente.
IL On mettra ensuite la formule (i3) sous la forme (12), en y portant ces expressions de Lq, . . ., multipliant les deux termes du second membre par ce que devient son dénominateur quand on y substitue — f'{y) à /'(x), remplaçant partout [f'(y)Y par son expression entière enf(y), ^[f{y)] tirée de l'équation différentielle de f(y) (379), en supprimant enfin tout facteur entier enf(x), f{y)i qui diviserait à la fois le dénominateur et les coefficients de ^^ f'{x)^ f'{y)'if'{^)f\y) au numérateur.
III. Permutons maintenant x et y^ appelons Jl>, ... ce que deviennent Â, . . . , et égalons identiquement cette nouvelle expression Ae fi^x +jk) à la première (12) ; on obtient ainsi
(HX-SA)-f-(HG-5B)/'(rr) -h(Haft,-5G)/'(j^)H-(H(D-5D)/'(rr)/'(r) = o.
Mais, comme les équations différentielles de f{x), f{y) sont entières et du deuxième degré en/'(^),/'(j^) (379), de plus irréductibles (333), pette relation ne peut avoir lieu, quelles que soient ar, j^(332, II), sans que les polynômes en/(^),/(j^) y multipliant ^ y f'{^)^ f'{y), f\x) f'(y) soient tous identiquement nuls, ce qui donne
A "" B "" G "" D " h "'' comme on le constate sans difficulté.
IV. En s^appujant sur l'irréduclibilité des équations dîffërentîelles àef{x),/{y) et sur la symétrie de H, on prouve enfin que ce dernier polynôme ne peut avoir un diviseur entier en f{x)^ rationnel en f{y), /^{y)j sans qu^on ne puisse supposer celui-ci entier ^n /(y) aussi, et indépendant de /'(y)', mais la démonstration est plus longue que difficile, et nous la supprimons pour abréger.
On en conclut que les expressions
(i4) II, K-hCf'(y), B + D/'(j),
considérées comme des polynômes entiers en /{x)<, n'ont aucun diviseur commun de ce genre, dont le degré efiectif soit >o. Car ce diviseur commun, forcément rationnel enf{y)^ f\y)^ pourrait être supposé se réduire à un simple polynôme entier en /(a:), /'(^) seulement, se transformant dès lors en lui-même par la substitution de S — y ky^ divisant ainsi
en outre et à la fois, divisant simultanément en conséquence Â, B, C, D, H, lesquels, au contraire, ont été débarrassés de tout diviseur commun.
L*égalité identique des seconds membres des relations (12), (i3) et l'irréductibilité de l'équation différentielle de f{x) assurant la proportionnalité des expressions (i4) ^ trois polynômes entiers en f{x)^ de degrés maximums 2, 2, o, ces mêmes degrés seront précisément ceux des expressions considérées, puisqu'elles n'ont aucun diviseur commun entier en /{x). D'où résulte immédiatement l'exactitude des valeurs assignées par notre énoncé aux degrés des polynômes A, • . . .
V. Quant aux coefficients des polynômes A, . . . , leurs valeurs se calculent, pour chaque fonction /(a:), par la méthode que nous suivrons pour celle qui sert de type à toutes les autres (405, in/.).
384. L'expression de/{x — y) se déduit de la formule (12) par le changement de x en S — x, qui laisse/(^) invariable, qui change f{x) en -/'(x), et f{x +y) en /[S - (x -y)] =/(x -y).
