CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUKS DU 8IC0ND ORDRE

385. En faisant successivement j^ = x^ ax, . . •, (/i — i)^(lans la formule (12), ellefournit des expressions de /( 2 j:),/( 3 a:), . . ., f{nx)^ qui se ramènent facilement à des fonctions rationnelles de/(a:),/'(:r), contenant cette dérivée au numérateur seulement et au premier degré. C'est immédiat pour/(2 j:), par la substitution deo[/(j:)] à [/'(^)]*. Dans /( 3 j:) figure /(2a?) déjà connue, el f\*kx) qu'on en déduit par différentiation. On introduit ainsi f^{x)^ mais on s'en débarrasse au moyen de l'équation différentielle de/, donnant f'\x)=^^^'{f). On amène le dénominateur à ne plus contenir que des puissances paires dey*'(^), en multipliant les deux termes de l'expression par un facteur convenable; puis on substitue partout {p(/) à/'^. Et de même ensuite pour /(4^), ....

Une méthode plus directe consiste à remarquer (\we¥{x)=f{nx)

est une fonction du second ordre aux périodes élémentaires -« -9

partant une fonction d'ordre 2 /i^, relativement à (II, û) (322). Il en résulte immédiatement (331), que F(x), f{x) sont liées par une équation entière de degrés 2, 2/1^, ou 1, /t^, suivant le cas, ou bien encore que la première fonction s'exprime au moyen de la seconde de la manière indiquée tout à l'heure.

On a F(S — ^)=y(/iS — f^^)s si donc il existe entre S, II, û et l'entier n une relation telle que S, /zS soient congrues suivant le couple (n, û), on aura F(S — x) = F(.r), et f{x) n'entrera pas dans l'expression de/(/iJc) qui sera de la forme (3). C'est ce qui arrive quel que soit /i, quand S =^ o, c'est-à-dire quand f{x) est une fonction paire de x.

386. En substituant -kx dans la relation entière entre f{nx) el/{x)j celle-ci se change en une équation entière de degrés 2,2/1* (ou i,/i*) entre /(^) et/[-]> et la résolution de cette dernière

fournira l'expression de/f - j au moyen de/(x).

Transformations primaires.

387. La réduction et la classification des intégrales elliptiques ont d'abord occupé les géomètres, qui n'ont pas tardé à recon-

430 DBUXliMB PARTIE. — FONCTIONS d'CNE BBULB YARIABLB.

nailre Timpor tance relalive plus considérable de celles de première espèce. Ne pouvant les exprimer au moyen des fonctions qu'ils connaissaient, ils ont cherché des substitutions algébriques de nature à modifier seulement les coefficients du polynôme du troisième ou du quatrième degré figurant sous le radical, sans que Tintégrale cessât d^être elliptique et de première espèce. lis voulaient ainsi faciliter le calcul numérique de ces intégrales en les réduisant à des formes plus simples et moins nombreuses, et aussi obtenir entre elles des relations intéressantes en théorie. Cette recherche constitue le problème de la transformation des intégrales elliptiques de première espèce, qui peut s'énoncer comme il suit :

Dans l'équation différentielle

dux ^ du

entre la variable indépendante u et la fonction u^y on donneles coefficients a^^\ . . ., a^*^ du second membre; trouver pour ceux du premier toutes les combinaisons de valeurs satisfaisant à des relations données entre eux et a^^\ .,., a^*\ qui font acquérir à cette équation une intégrale algébrique, c'est-à-dire racine de quelque équation entière entre elles et u

(2) u)(mi, w) = o;

calculer en même temps l'intégrale dont il s'agit, ou, ce qui revient au même, les coefficients de cette dernière équation.

Ce problème étant résolu, il est clair qu'en tirant inversement de l'équation (2) u ='^(W|), cette substitution donnera à Tintëgrale

la forme

que l'on avait en vue.

A la fin du n** 223 nous avons exécuté une opération de ce genre pour une intégrale ultra-elliptique, en cherchant la substitution (4) où t, 0? jouaient les mêmes rôles qu'ici m,, u; les relations impo-