GHÀPITRS XI. — FONCTIONS BIPÊRIODIQUES DU SECOND ORDRE

sëes entre les coefficients du poljnôme ^(t) se réduisaient à celle égalant à o celui de t^".

Tout d'abord la transformation a été traitée directement, c'està-dire par des procédés impliquant seulement la considération de fonctions algébriques (rationnelles ou irrationnelles), et ce sont précisément des solutions se formulant d'une manière simple et remarquable par l'introduction des fonctions inverses, qui ont fixé définitivement l'attention des géomètres sur ces dernières. C'est ainsi, par exemple, qu'ils ont découvert la formule de l'addition des arguments (383), mais inversée.

Une fois acquise et développée, la notion des fonctions inverses a permis de résoudre le problème d'une manière infiniment plus nette, et de tirer de ses diverses solutions autant de propriétés particulières de ces fonctions. C'est ce que nous allons expliquer.

388. On peut considérer u^ et u comme fonctions d'une même variable x, à laquelle elles seraient liées par les équations difierenlielles obtenues en égalant séparément à dx les deux membres de Téquation (i). Ces équations définissant alors deux fonctions bipériodiques de second ordre W|=/, (j;), ii=/(^x) (302), le problème de la transformation revient à ceci :

La fonction f{x) étant donnée, trouver toutes celles de second ordre f\{x) qui lui sont liées par quelque équation entière et irréductible

et pour lesquelles les coefficients a^^\ • . ., a^^^ satisfont aux conditions posées; calculer simultanément les coefficients de cette dernière équation.

Les théorèmes des n" 330, 331 permettent d'assigner immédiatement la nature générale de/i . Il faut en vertu du premier, que les fonctions f^^ f aient en commun quelque même couple de périodes, c'est-à-dire que leurs périodes élémentaires soient liées par deux équations linéaires et homogènes à coefficients entiers

432 DBUXIÈMB PARTIE. — FONCTIONS D'UNE SEULE VARUBLE.

telles, qu^ aucun des déterminants

Pi Çi

Pï 9ï

ne soit nul. Et cette condition est suffisante en vertu du second théorème.

Les fonctions /i se trouveront ainsi parmi les fonctions du second ordre ayant pour périodes élémentaires toutes les valeurs de IIi, Û, tirées des équations (4) après Tattribution aux éléments entiers des déterminants (5) de toutes les combinaisons de valeurs possibles. On limite le nombre des solutions en imposant à l'équation (3) la condition de contenir /i, / à des degrés effectifs déterminés, et on achève en s'arrangeant de manière que les coefficients a^^\ . . . , a^^^ satisfassent aux conditions voulues.

389. Le cas le plus simple, et qui est utile à la solution de tous les autres, est celui où f^ doit n'entrer qu'au premier degré dans l'équation (3), être par suite exprimable rationnellement au moyen de /. La transformation est alors dite rationnelle, et l'on nomme son degré, le degré même de celte équation (3) par rapport à/*.

Pour quey« soit fonction composée rationnelle de/*, il faut et il suffit (381) que les périodes élémentaires de /soient des périodes de/i, et que la constante supplémentaire S de /"soit congrue à celle S| de /i suivant le couple (H,, û|), c'est-à-dire que l'on ail

/?in,H-gr,û, = n,

S| = s -h /'illi-h *iûi,

/7i, ' . . , 5| désignant 6 entiers.

Si l'on pose

l'ordre de/i(a:) qui est a relativement à (IIi, û,),est ± 2N relativement au couple (II, û) (322). Le degré de la transformation

est donc égal à — - = riz N.