CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES DU SECOND ORDRE

Pour obtenir une transformation de degré donné X, il faut donc trouver, pour N = ±»}î!), quelque système de solutions entières de l'équation indéterminée ('^ bis) aux 4 entiers inconnus ptj q^j p\ , q\ , tirer des équations (6) les valeurs correspondantes de Hi , û| , puis conserver parmi les fonctions du second ordre qui ont ces périodes élémentaires et une constante supplémentaire congrue à S suivant ces mêmes périodes, celles qui correspondent à des coefficients a*,®\ . . . , a^^^ satisfaisant aux conditions posées. Les coefficients de la fonction rationnelle en /qui est l'expression de fs se calculent ensuite par tel ou tel moyen particulier.

L'exiguïté de notre cadre nous interdit de pousser la solution au delà de cette grossière ébauche; d'ailleurs on n'exécute guère d'autres transformations, que celles intéressant la fonction elliptique )^(^), dont nous parlerons dans le Chapitre suivant. Nous pouvons cependant traiter un cas des plus faciles, qui conduit à la connaissance de propriétés essentielles des fonctions du second ordre, et à l'explication du choix que les géomètres ont fait de cette fonction X pour type de toutes les autres.

390. Nous exécuterons une transformation rationnelle du premier degré, en imposant aux coefficients a',®\ . . . , a^/^ de l'équation (i) la condition d'être respectivement égaux à a^'\ . . ., a^*\ Les fonctions /< (x), /(^) introduites au n** 388 seront alors des intégrales de la même équation différentielle

dx et Ton aura par suite (304, II)

r désignant quelque constante. Les deux fonctions /i, /'ayant ainsi les mêmes périodes élémentaires, les équations (6) sont possibles en nombres entiers donnant N == =b i . Mais il faut encore, en vertu de (7), que leurs constantes supplémentaires soient congrues. En appelant toujours S celle de /(x), celle de f{^x -f- r) est évidemment congrue à S — iY, Il faut donc que iY soit congru à o, c'est-à-dire que l'on ait à des multiples près des M. — îl. 28

périodes élémentaires II, û, commuDes à/(ar),/4(jr),

r = o, ou = — > ou = — » ou = •

En d'autres termes : si T a Vune de ces quatre valeurs, ù l'exclusion de toute autre^ on a identiquement

a, p, Y, S désignant certaines constantes dont le déterminani n'est pas nul {sans quoi /{x -{-T)^ partant /{x)y dégénéreraient en des constantes).

Des quatre formules ainsi obtenues, la première se réduit à f{x)=.f{x) et n'apprend rien; la dernière est une conséquence de la seconde et de la troisième, car on l'obtient évidemment en

tirant de cette troisième l'expression de/(^ + 7 H — ) ^i" moyen

de/(xH ] y puis en remplaçant dans le résultat /[x H j par

son expression en f{x) fournie par la seconde. Mais la seconde et la troisième ont des seconds membres distincts, car autrement

on aurait identiquement fix H — j z=flx -\ — ] > ce qui ne se

peut, puisque —» - ne sont pas des quantités congrues; et elles

expriment des propriétés nouvelles et fort importantes d'une fonction quelconque du second ordre. Nous les nommerons les deux transformations primaires de cette fonction, relatives à ses périodes élémentaires II, û, respectivement,

La formule (8) oii F représente ainsi — » ou -i s'écrit encore

^f{^)f{^ H- r)H- P/(:r)H- 8/(ar + r)4- y = o,

et donne par le changement de ^ en ;r + F,

à cause de/(x -H 2T) = /(x), En retranchant membre à membre, il vient donc