CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES DU SECOND ORDRE

d'où 8 = p, parce que, x -\-T et x n'étant pas des quantités congrues, le second facteur ne peut s'évanouir identiquement.

Cette observation donne à la transformation primaire qui correspond à la période élémentaire quelconque T, la forme définitive

(9) «r/(-P)/(^^- i)^ Pr [/(^)+/(^-^ ^)]

+ Yr = o.

391. Qu'elle soit du genre E(x) ou E^{x)j la fonction /(:c) a toujours trois valeurs cardinales finies

(lO) Oy by c,

au mojen desquelles les coefficients de cette transformation s'expriment immédiatement. Mais, auparavant, il faut préciser des corrélations importantes entre leurs combinaisons et les divers couples possibles de périodes élémentaires.

Des racines quelconques Xa, xsj Xc des trois équations numériques

/(x) — a=o, f{x)—b = 0y J{x)—c = Oy

étant doubles chacune, les sommes Xa-\- :Ca= a^r^, 2x1,^ iXc sont toutes congrues à la constante supplémentaire de f{x)^ suivant un quelconque (II, Û) de ses couples de périodes élémentaires; par suite, elles le sont deux à deux. Comme deux de ces racines ne peuvent jamais l'être, les trois différences

OC(i — • SOffy 3C(i ^o *^b '^c

le sont respectivement aux trois quantités

disposées dans un ordre convenable. Si ces congruences ont lieu précisément pour l'ordre ci-dessus, nous dirons que la période D et C association {ab)j la période û et V association (ac), s'appartiennent, réciproquement et respectivement.

Les points suivants s'établissent ensuite très facilement.

I. A toute association de deux des trois quantités (10), appartient toujours quelque période faisant partie d'un couple été-

436 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'UNB SEULE TARIABLB.

mentaire; ea faisant donc abstraction de Tordre des périodes, tous les couples élémentaires se partagent en trois genres, caractérisés chacun par telle des trois combinaisons deux à deux des trois associations possibles (bc), (ca), (ab).