CHAPITRE II. — FONCTIONS MÉR0M0RPHE

tous deux olotropes en a, leur différentiation simultanée, poussée assez loin, suffit pour reconnaître si, en j? = a, ce rapport est infini ou fini et, dans ce dernier cas, pour avoir sa valeur. EfTectiveraent M, N sont alors non négatifs, et égaux respectivement aux ordres des premières dérivées de U(j:), V(a:) qui ne sont pas nulles pour a: = 0L (3). Si donc la dîfférentialion parallèle de ces fonctions conduit pour le numérateur à une dérivée qui ne s'annule plus et pour le dénominateur à une dérivée (du même ordre) qui s'annule encore pour x = a, on saura par là que M est < N, par suite, que le rapport est infini. Si l'inverse a lieu, M est > N, et le rapport s'évanouit pour x = cx,. Si enfin les dérivées des deux termes s'évanouissent simultanément jusqu'à un même ordre 0 exclusivement, où elles ne sont nulles ni l'une ni l'autre, on a

et, pour X = a, le rapport considéré prend la valeur -y-, — du dernier facteur de l'expression (2). Mais, comme on a

Ui(«) = 7-^— U^"'(«J, V,(a)= —1— Vo)(a),

la valeur de notre rapport en ;r = a est précisément égale à celle du rapport des dérivées d'ordre 0 de ses deux termes.

On retombe ainsi sur la célèbre règle de Lhôpital^ on a trop souvent le tort de la présenter comme générale, tandis qu'elle est exclusivement applicable au cas où les deux termes du rapport sont olotropes pour la valeur de x qui annule le second.

Fonctions indéfiniment méromorphes.

47. Si f{x) est méromorphe dans toute V étendue du plan servant à la notation graphique de x^ et si X désigne une constante quelconque, ou bien chacune des équations numériques

(I) /(eO=X,

^^^ 7ôô=^

admet quelque racine, soiljinie, soit infinie, ou bienf{x) dégénère en une constante.

Supposons que le dernier fait n'ait pas lieu : si l'équation (i) n'a aucune racine (finie), la différence ^(w) — X, méromorphe comme /{u), ne possède aucun zéro el par suite son inverse

arithmétique -^^ — -^ est indéfiniment olotrope (230*, II), (4-2),

sans dégénérer en une constante. Cette fonction est donc infinie, ou, ce qui revient au même, son dénominateur est infiniment petit, pour quelque valeur infinie de u (8), ce qu'il suffisait de prouver.

Notre proposition est donc vraie pour l'équation {'i) aussi, puisque son premier membre est comme f(u) indéfiniment méromorphe (30, 11).