CHAPITRE XI. -— FONCTIONS BIPÉRIODIQUES DU SECOND ORDRE

Xc-\ ne peut l'être ni à Xa, ni à a:^, ni à Xcy f{xc-\ ) est une

valeur cardinale de /(x) étrangère au groupe (io). Il vient ainsi

(i3) cd^ji -H (c -h rf) Pn + ïn = o.

Les équations (12), (i3) sont précisément celles dont la résolution fournira des quantités proportionnelles aux coefficients ajj, ?n> Yn» ^^^) s' '^s déterminants des coefficients de ces inconnues prises successivement deux à deux s'évanouissaient tous trois, il viendrait immédiatement

a -\- b = c -h d, ab = cdj

d'où a = c, 6 = rf ou bien a = d^ 6 = c, ce qui est impossible. Si </ était infinie, réquation(i 3) devrait naturellement être remplacée par

Les équations linéaires simultanées

l bd0L^^{b-^d)^^-^^^ = O

détermineront de même les coefficients de la transformation primaire relative à la période û supposée appartenir à l'association («è).

393. Le théorème suivant ne nous est pas encore utile, mais nous le plaçons ici pour le rapprocher de ceux sur lesquels sa démonstration s'appuie.

Nous appellerons E(^) la fonction bipériodique du second ordre des n"' 302 et suiv., aux valeurs cardinales a, 6, c, d, finies toutes quatre, aux périodes élémentaires II, Û, appartenant aux associations (a6), {ac) (391), puis H une constante ^o, et nous .considérerons la fonction

que nous savons être méromorphe (381, II), avec quelque couple de périodes appartenant à E(a:) (330). Cela posé :

Si Von a l'égalité

la fonction X(a:) est du second ordre avec

„ « n n, ûH —

pour périodes élémentaires.

Sinon, elle est du quatrième ordre avec

pour périodes élémentaires.

T. Les périodes de X(x) appartenant à

X(ar)»=H[E(r)-a][E(a7)— 6],

nous déterminerons d^abord toutes les constantes F rendant la différence

(i6) X(a7 + r)«-<3^(x)> = H[E(:FH-r) — E(x)][E(a?-+-r)-HE(a:)— (a-h6)]

nulle identiquement; ce seront les périodes de ^(x)', parmi lesquelles nous chercherons ensuite celles de ^{x). On annulera naturellement le premier facteur de cette expression, en prenant pour F une somme de multiples entiers de n, û; le second facteur reste donc seul à discuter.

L'identité

(17) E(a7-4-r)-+-E(ar) — (a-i-ô) = o

est nécessairement quelque transformation primaire de E(x) (390) ; d'où (à des multiples de II, û près)

r=~ ou =— ou = •

Les coefficients a, p, y de ces trois transformations se tirent d'équations linéaires simultanées analogues à (12), (i3), et, en exprimant qu'ils ont pour valeurs o, i , — {a-\-b) respectivement, on forme les trois systèmes de conditions correspondants

(a-hô) — {c -{- d) cd — ab ab{c-hd) — cd{a'-\-b)'

{a-^c) — {b-\-d) ~~ bd — ac " ac(b -h d)--bd{a -^- c)*

(a-4-c/; — (6-H-c) "~ bc — ad "" ad{b -¥- c) — bc(a ■+- d )'