CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUBS DU SECOND ORDRE

Le second système est irréalisable, car il donnerait

(18) a-{-c = b-hd,

puis

ac{d — a) -h bd{b — c) = o.

Cette égalité combinée avec la précédente

conduirait soit à d — a=zb — c = o, ce qui est impossible, puisque a, fr, c, d sont des quantités toutes inégales, soit à

(19) ac == bdy

ce qui est impossible encore, car les égalités (18) et (19) entraîneraient pour a, c la propriété d'être respectivement égales kb^d ou à d^ b.

Le troisième système Test également pour des raisons semblables. Le premier système seul est possible ; il entraîne Tégalité (i 5),

conditions nécessaires et suffisantes pour que l'identité (17) puisse avoir lieu.

IL Si Fégalilé (i5) n'exisle pas, 2f(y{a:y ne peut ainsi avoir d'autres périodes que celles de E(^); et comme les périodes élémentaires deX(:r) appartiennent à son carré, elles sont nécessairement des formes

Mais en raisonnant exactement comme au n^381, III, on trouvera

(ao) 5^(a?-+-n)= Sf^(x),

(ai) X(a? H- û) = — Sl^{x) ;

il faut donc que g y s soient des entiers pairs et l'on obtiendra IIi, Ûi, en donnant au déterminant {ps — qr) sa valeur minimum qui

est ici ±2. On pourra donc prendre

lli=n, û, = 2Û,

comme le dit notre énoncé.

Les infinis de X(j:) sont évidemment ceux de E(x), simples aussi, et sa maille élémentaire, double de celle de E(j;), en contient 4; cette fonction est donc du quatrième ordre.