CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES
397. Une fonction du second ordre n'est pas entièrement déterminée par la connaissance de ses périodes élémentaires II, û, relativement auxquelles ses transformations primaires prennent les formes simples (3), (2). On peut encore disposer à volonté de sa
constante supplémentaire !^o-t-(soH — )= ^^o-i — » puisque le
premier zéro ^0 est arbitraire; après cela, ses zéros et ses infinis sont entièrement déterminés par les observations précédentes, et la fonction ne renferme plus qu'un facteur constant indéterminé (380).
On rend la constante supplémentaire S égale (ou congrue) à ->
en prenant 2^o = o; la transformation (2), combinée avec
donne alors
ce qui rend la fonction impaire, et lui confère en même temps comme une demi-périodicité relativement à -•
Il est facile d'assigner la forme de l'équation différentielle
de la fonction /(x) ain.si définie. Les conditions (4), (5) donnent
5=,» c = — a, d = — ,-> ka ka
d'où, en posant y ^^ = g,
équation à compléter par les conditions initiales
pour a: = o,
dont la seconde suppose que Ton ait représenté par g celle des
deux valeurs de l/p» à laquelle, en vertu de Téquation différentielle (8), reste égal le rapport de/'(:r) au radical iGgurant dans son second membre.
En appelant ^^^ comme au n^ 391, une racine de Féquation
numérique f(^x)=^a^ Xa — ^c est congru à - parce que la pé-
mm
riode Û appartient à l'association (ac); Xa — 7 est donc congru à Xc^ d'où
f[xa - - j =f{xc) = c = —a.
A cause de l'identité (7), on a donc/( — ^«H — ) = a; les quantités Xft, — Xa-\ — sont donc congrues entre elles, puisque Téquation /{x) = a n'a que des racines doubles. Il en résulte que Xa est congru à -> c'est-à-dire qu'on a a-=/(-j' Si donc on dispose
du facteur constant encore indéterminé auquel nous faisions allusion tout à l'heure, de manière à rendre
on aura a = i, et, en posant/(a:)= m, l'équation différentielle de notre fonction prendra la forme définitive
(10) ^'^=^^(j—iir)ij^kû^)
accompagnée toujours des conditions initiales
(11) a = o, et le radical = -h I, poura7 = o.
398. Réciproquement, si, appelant k une des racines carrées de k^ choisie à volonté, et posant
a = r, 0 = j, c = — I, d= — j, on adopte pour V intégrale u=/{x) de l'équation (10) corn-
