CHAPITRE XII. — PONCTIONS BLLIPTIQUBS CANONIQUES

plétée par les conditions initiales (ii), des périodes élémentaires appartenant respectivement aux associations

(ab)y (ac)

des valeurs cardinales, les transformations primaires de cette fonction auront les formes (3), (2); sa constante supplémentaire sera congrue à -9 d'où résultent pour ses zéros et infinis

les valeurs mentionnées au /i° 397, et elle satisfera à la condition numérique (9). C'est évident.

Pour n, û, on peut prendre, comme nous Tavons expliqué au n" 391, les périodes-types considérées au n® 302. La seconde est la valeur de Tinlégrale (1 3) de ce numéro, prise sur deux boucles simples partant de l'origine O^ et enveloppant les points a = 4- 1 , c = — 1 respectivement. Ces points étant symétriques par rapport à Forigine, on peut aussi supposer telles les boucles correspondantes; on en conclut sans peine que la valeur de l'intégrale est double de ce qu'elle serait, prise sur la première boucle seulement. D'après cette remarque, la seconde des formules (24) d^i dernier numéro cité donne

r* du

après quoi, si on le veut,

le chemin d'intégration étant, si bon semble, le segment rectiligne tracé de a = o à u = I .

La première des mêmes formules donne

. rfu

où l'on peut aussi supposer rectiligne le chemin d'intégration.

399. Une fonction du second ordre, définie comme ci-dessus (397), se nomme une fonction elliptique '^{x) (notation de M. - IT. 29

Brîot et Bouquet), ou bien sn;r^ comme écrivent maintenant beaucoup d'auteurs. Elle est complètement déterminée, soit par la connaissance de deux périodes élémentaires donnant lieu aux relations (2), (3), (7), soit par Téquation différentielle (10), les conditions initiales annexes, et l'indication de la valeur de k (choisie, bien entendu, parmi celles de ^k^\

Une infinité de couples de périodes élémentaires, mais non tous, donnent lieu à ces relations (2), (3), (7); pour les distinguer de ceux qui ne jouissent pas de cette triple propriété, on les dit elliptiques. Et, comme dans chaque couple il y a une distinction évidente à faire entre les deux périodes, on nomme première période celle û figurant dans les formules (2), (7), seconde période l'autre II entrant dans la relation (3). Désormais, nous les représenterons par 0), (1)', notations de Briot et Bouquet.

Quand on part de l'équation diflérentielle (10), les formules (i 2), (i3) respectivement donnent un couple de valeurs de oj, tJ.

Tout autre couple (h, a') de périodes elliptiques devant être du même genre que (co, w') (391, 1) lui est lié par les relations (1 1) du numéro cité où a, 8 sont impairs, mais ^, y pairs. La condition /( M = i =/( -7 ) exige, en outre, que et ^ soient pairs

aussi, ce qui donne à ces relations (interverties) les formes définitives

8 =(4pH-i)w-+-4'iw',

les entiers p, <\, t, « étant choisis arbitrairement parmi ceux qui satisfont à la condition

(4p H- l)(2A -+-!)— 8qt = ±1.

En résumé, la fonction ^^{x)^ aux périodes elliptiques données w, o)', est caractérisée, comme fonction bipériodique du second ordre, par les identités