CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

d^où ToD tire aussi

et parla condition numérique

donnant encore par sa combinaison avec les précédentes

^ /ti) to'\ I

Ses zéros sont congrus à

et ses infinis à

to' O) -H tu'

400. La constante k figurant dans la transformation (i6), et aussi dans Téquation différentielle (lo), mais alors par son carré, est le module de la fonction ; il ne peut être égal ni à -j- i ni à — i , car autrement le polynôme sous le radical aurait quelque facteur multiple.

L'intégrale de l'équation (lo) avec les conditions initiales (i i) est unique; elle donne néanmoins deux fonctions X; Tune a pour module A* (l'une des racines carrées de k^) et certaines périodes elliptiques; l'autre a pour module — A, mais d'autres périodes ellfpliques.

La deuxième constante g entrant dans l'équation différentielle est le multiplicateur de la fonction.

401. Les périodes elliptiques de l'intégrale de l'équation (lo) ayant été choisies de manière que son module soit A", cette fonction se représenle quelquefois par

>^(^i ^, A), et simplement par

quand le multiplicateur g se réduit à i.

L^équatîon différentielle donnant évidemment

X(T, g, k) = \{gx, k\

l'étude de toutes les fonctions \ peut être limitée au cas où le multiplicateur g se réduit à i .

402. Il faut noter quelques particularités numériques de la fonction \{x^ k).