I. Pour lim x = o, on a

lim = I.

Cette limite a effectivement pour valeur V(o, A:)= i, à cause de l'équation différentielle (lo), où ^= i, et des conditions initiales annexes.

II. Dans le développement de X(j:, k) par la formule de Maclaurin, les coefficients des puissances de x à exposants pairs sont tous = o, et celui de x est = \ .

Le premier point résulte de Tidentité (17) et le second de la remarque précédente (I).

III. Les résidus de X(j?, k) sont égaux à ±: t» selon que les infinis correspondants sont congrus à — ou à — ;

Le résidu relatif à a représentant Tun ou l'autre de ces infinis est, parce que ceux-ci sont simples, la limite du produit {x — ri)\{x^ k) pour lim^r = a, ou bien de A(a -f- /, k) pour t infiniment petit. Or, en remplaçant a par ces valeurs, puis ayant égard aux transformations (i5), (16), il vient

ce qui réduit ces limites à ± t (I).