IV. Dans la série

développement de X(x, A*) en série procédant suivant les puissances de {x — a) à exposants entiers, négatif s puis positifs, les coefficients des puissances paires de x — a sont tous nuls.

Nous avons trouvé (III)

A[aH-(ar — a), k]= tt-t -,

kk{x — a, k)

et auparavant (II)

Il en résulte bien

±1 (i8) \{x, k)= ^^^^^ [iH-rT^3(3r — a)«-4-...].

V. Pour la dérivée V(^), on a enfin (quels que soient g et k) les identités

(ao) r(^x) = V(x)

qui se déduisent de (i 4), (■ 5), (17) par de simples différentiations.

403. Dans le problème de la transformation des fonctions elliptiques, tel qu'on le pose habituellement, Péquation (1) du n*» 387 est

dui __ du

Il diffère ainsi de celui dont nous avons formulé l'énoncé par ces deux particularités : que le polynôme du quatrième degré donné a^®^ + . . .-ha^*^u^ est de la forme (i — U'){i —k^u^), et que les relations auxquelles doivent satisfaire les coefficients du

polynôme inconnu rt^°'4-. . .+ a\^^u\ sont de nature à lui imposer la forme ^^(i — «î)(* — '^'i "?)•