Les relations

et la formule

Kl = ku

donnent une transformation du premier degré évidente, qui équivaut à la relation

enlre la fonction )v(x, A) et la fonction 'iJkx, t ) au module réci-

p roque -r •

403. L'achèvement, pour la fonction X(x, A), de la formule relative à l'addition des arguments, dont la construction a été commencée dans le Chapitre précédent, va montrer comment il faudrait procéder pour toute autre fonction de second ordre dont les propriétés caractéristiques seraient aussi connues.

Parmi les polynômes A, . . ., entiers en A(;r), )^(y), qui figurent dans la formule générale ( 1 2) du n** 383 appliquée à la fonction )v, B est indépendant de X(^), D de )^(^) et de )^(j'); nous écrirons les autres Ap+Ai, Cp-|-Ci, Hp-f-Hi, en décomposant chacun en deux parties contenant exclusivement, la première les puissances paires de X(j;), la seconde les puissances impaires de

cette fonction, puis nous ajouterons - à ^, ce qui, en vertu de la

transformation (i5), change 'k{x) en — ^(^), par suite Ai, Ci, Hi en - Al, — Cl, — Hi, puis V{x) en — V{x) (402, V), l{x -f- v) en — \{x-\'y), mais laisse tout le reste invariable. En écrivant donc que cette opération multiplie simplement par — i le second membre de la formule en question, il vient facilement la condition

HpAp-HiAi-HiBX'(x)-i-(HpCp-HiCi)X'(jK) — HiDX'(^)X'(^') = o» quelles que soient Xyj\