CHAPITRE XII. ~ FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

Comme celle relation esl enllère en a(j:), ^'(^) en ne conlenanl )v'(.r) qu'au premier degré, de même nature aussi relativemenl à )w(j>'), V(^'), on a forcément, comme au n® 383, III,

HpAp - H; Al = HlB = HpCp - HlQ = lUD = o,

quelles que soient A(jr), )^(j>'). On ne peut avoir simultanémenl B= D = o, car alors la formule considérée ne conliendrail pas )/(t) ce qui est impossible (383, I, in fine). On a donc

H| — o, d'où Ap = Cp = o,

parce que IL, Ili ne peuvent s'évanouir identiquement tous deux. En conséquence, on a d'abord

parce que ce polynôme, dont le degré par rapport à )v(^) esl^ 2, ne peut contenir que des puissances impaires de celle fonclion et qu'il esl symélrique par rapport à )^(.r), X(j'). On a ensuite

C = cX(ar),

parce que ce polynôme, de degré ^2 enX(j:), n'en peut contenir que des puissances impaires; d'où

B = cX(/),

parce que la permulalion de X(^), ^^{y) permute aussi B, C. On a enfin

parce que ce polynôme ne contient que des puissances paires de \{x)y que le degré de celle fonction n'y peut surpasser 2, et qu'il esl symélrique par rapport à X(a:), )^(y). Et dans ces qualre formules, a, c, . . . sont mainlenanl des conslanles. Sous le bénéfice de ces observations, la formule cherchée prend la forme

Si maintenant on y fait y =z .r, le premier membre s'éva-

456 DEUXIÈME PARTIE. — PONCTIONS D'UNE SEULE VARUBLE.

nouit quelle que soit:r, et par suite aussi le numérateur du second membre, se réduisant à

(22) aX(r)» — DX'(ar)»

à cause des identités (i4)) (19)9 cela parce que le dénominateur qui devient ho-\- ^^^'^{xy -h h^'k{xy n'est pas identiquement infini. Le polynôme (22), entier en X(^), X'(^), contenant la première fonction à un degré <C4î degré par rapport à ^(x) de Téquation entière irréductible entre cette fonction et V(x), est identiquement nul (332, II), d'où a = D = o, ce qui réduit la formule (21) à

(.3) X(.-^^)= clU.)r(y)^X(y)r(.)]

ho-hhi[l(x)i-hl{y)^]-hh,,l{x)n{y)^

Pour j' = o, on a X(j') = o, V(y) = i , et le premier membre se réduit à ^^{jc); comme il doit en être ainsi pour le second, on a 7*2 = o, c = /iq.

Enfin l'hypothèse j^ = — j? H- ~ rend le premier membre infini,

mais non le numérateur du second, cela du moins quelle que soit œ; elle doit donc annuler le dénominateur, et, comme ^(>')

devient — , ^ en vertu de la transformation ( 16), il faut qu'on

ait A4 = — k^/iQ. Moyennant quoi, la suppression du facteur commun c = ho donne à la formule cherchée la forme définitive

\t^^^^ X(:r)Xïr)+X(r)XV:r)

L'expression de X(a: — y) se déduit de celle-ci par le changement du signe affectant le second terme du numérateur (384).

406. En considérant la /onction f"S| (x) à la période unique to, à la fausse période co', définie au n^ 3S9, on a

Comme — > sont les seuls infinis incongrus de X(x, A),