III. Quand X croit de zéro à j, puisde -à — > puisde — à

puis de — à iù^ ^(^î ^) croit de zéro à i , décroit de i à zéro,

puis de zéro à — i^ et croit ensuite de — i à zéro. Sa marche générale rappelle ainsi celle de sin^r.

IV. La partie réelle de "^{x^ k) s^évanouit, quand celle de x

est nulle ou multiple entier de —; la valeur correspondante

de V(x^ k) est toujours réelle.

En appelant x\ x" les deux éléments de x, et appliquant la formule d'addition (405) au calcul de A(j:'-h tV', Ar), on discute facilement la fonction pour toutes les autres valeurs de x. On voit ainsi que la fonction n'a quelque élément nul que dans les cas spécifiés ci-dessus.

4H. D'après la formule (26), X(x, k) est le quotient des deux

fonctions 2r(;r), e ^ 3 (a:, — ]• Dans le cas qui nous occupe, oii to

est réelle et co' de la forme t(o^, w^ étant réelle, on remarquera que ces deux Jonctions auxiliaires sont aussi réelles pour toutes les valeurs réelles de x.

Effectivement, si l'on réalise ces hypothèses en faisant H = ->

û = i(o'^^ dans le développement (54) du n** 366, on voit de suite que le facteur médian est réel, que ceux équidistants des extrêmes sont imaginaires conjugués, d'où la réalité de ^(x). Comme )i(jc, k) est réelle dans le cas dont il s'agit (410, II), l'autre fonction ne peut manquer de l'être aussi, chose facile à vérifier par l'examen du développement (55) écrit au n® 367.

Des Tables des valeurs réelles de ces deux fonctions (ou mieux de leurs logarithmes) suppléeront donc à celle des valeurs réelles de 'k{Xj k).