CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

Expressions des intégrales elliptiques réduites à la forme

canonique.

412. L'adoption des fonctions X(x) pour tjpe des fonctions bipériodiques du second ordre rend avantageuse la transformation préalable de toute intégrale elliptique que l'on aurait à évaluer, en une autre où le polynôme sous le radical a la forme bicarrée de celui qui figure dans Téquation différentielle des fonctions 'k(x). La remarque suivante rend évidente la possibilité de cette opération.

On peut assigner quatre constantes />', /?", ^r', q" de déterminant ^ o, telles que les transformations primaires de fx (x) liée à la fonction quelconque du second ordre f{x) par la relation du premier degré

aient les formes simples définies au n^ 395.

11 est permis d'admettre que la fonction considérée /(x) est à infinis simples ; car, si c'était une fonction E«(j;), il suffirait, après avoir choisi arbitrairement quelque constante h non égale à l'une des trois valeurs cardinales de cette fonction, de poser

d'où

(2) Eoo(^)=-^ y

pour que la fonction du second ordre f{x) aux mêmes périodes n'eût que des infinis simples.

Cela posé, soient II une période éléme«taire de /(x) et a, p, y les coefficients de la transformation primaire correspondante

a/(:r)/(x+ J^ + ^^f(^x)-^f(x -^^^'^^ ^( = o; n est aussi une période élémentaire de ft(x) pour laquelle les

462 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D*UXB 8EULE VARIABLE.

coefficienU de la transformation primaire correspondante ont les valeurs

Pour que cette nouvelle transformation ait la forme voulue, il faut donc et il suffit qu'outre pi ^^ o on ait a, = 71 = o, et, pour cela, que (/V, 7'), (/?", (f) soient deux couples de solutions de Tëquation homogène du deuxième degré

olFrant un déterminant 7^ o, c'est-à-dire distincts.

En représentant par {ab) l'association des valeurs cardinales de/(.r) à laquelle appartient la période 11, les coefficients a, p, y, déterminés par les équations (i-^), (i3) du n** 392, sont proporlionnels, ëgaux même si on le veut, à

(4) d'où

(a-f-6) — (c-t-rf), cd — ab, ab{c ■+■ d) — cd{a-^-b),

ps - «Y -

[\ .d{a — c)-^ i,a{b — d)] [i(a [b.d{a — c)'^c,a{b — rf)] [b{a-

c'est-à-dire p- — av=;z£o, parce que les quantités a, 6, c, d sont essentiellement inégales. L'équation (3) admet donc bien les deux couples de solutions distincts (//, ^'), (//, <7"), dont nous avons besoin.

D'aitleurs, on a

Pî=P«-arri=(p«-a7)(/<7''~//^')*^o, d'où ,3|^o comme il le fallait aussi.

413. Considérons maintenant l'équation diiïérentielle de la fonction /(o*),

CHIPITRB XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUBS CANONIQUES. 463

on ^{f) est un polynôme en /du quatrième ou du troisième degré, et exécutons-y la substitution du premier degré

identique à (i) dans le premier cas, ou résultant de sa composition avec (a) dans le second.

Les transformations primaires de f\{x) ajant la forme canonique du n^ 395, Téquation difierentielle devient

OÙ »i est maintenant un polynôme bicarré. Mais, comme ^ s'est

ri f

transformée en le produit de -^ par

le radical se transforme nécessairement en le produit de s/'^\{J\) par le même facteur, d'où cette conclusion :

La substitution rationnelle du premier degré

change C intégrale elliptique générale (G) J^[ih)/^^)]du

en une autre

(7) |Fi[wi,V^^i(wi)]«^Wi»

oii '^i(wi) est un polynôme bicarré tel que

(8) <!p,(M,)= A(i-f-m'ttî)(i-+-/n'aî).

On notera que les constantes F, ... de la substitution sont les

racines de l'équation du deuxième degré (3), dont les coefGcients s^expriment toujours rationnellement au moyen de celles de Téquation entière f{u) =o (du quatrième ou du troisième degré).

114. Dans cette dernière intégrale, il suffit actuellement de l'aire

V — m puis de poser, en supprimant les indices,

pour obtenir la forme canonique

il5. Pour obtenir maintenant les expressions des intégrales réduites des trois espèces, il faut se reporter an n** 378 et prendre i:{x) = 'k{x)^ le module de )^(:p) étant A*, c'est-à-dire exécuter dans ces intégrales la substitution

L'intégrale de première espèce est toujours (à une constante arbitraire près) la fonction implicite de u que définit l'équation (9) résolue par rapport à x,

416. La première des intégrales de deuxième espèce (298) s'obtient par les procédés élémentaires sans le secours de la substitution (9). Car, ayant la forme

ru du „ Vh'

011 R est bicarré, elle se ramène immédiatement aux intégrales circulaires (225), en faisant u^ = p, d'où w rfw = i dç.