La seconde intégrale de deuxième espèce devient
fX(x)^dx,
CBAPITRK XII. — PONCTIONS BLLIPTIODES CANONIQUES. 463
En élevant au carré la formule (i8) du n° 402, IV, il vient
et, pour chacun de ses iafiaîs a, la décomposition de '^{-x)' donne ainsi l'unique fraction simple rjr — — — -• On en conclut (347)
H désignant une certaine constante à déterminer, et S.^ ayant été construite en prenant II = to, û = »o'. L'application du théorème du n^ 350 donne plus simplement
Sa ayant maintenant—» w' pour (vraies) périodes. Aucun terme constant n'est plus à ajouter ici, parce que les deux membres s'évanouissent pour a: = o, à cause de Sof j = Sif — ] (343, Ilf).
L'intégration donne
C étant la constante arbitraire.
En choisissant la fonction S| dont l'augment A^^ est nul, on
T peut, dans cette formule, introduire partout la fonction 2r(^)
définie au n° 408. Effectivement, on a alors (332, I)
418. On obtient un résultat plus élégant, et encore exprimable au moyen de la fonction ^{x), en considérant, au lieu de l'intégrale M. — IL 3o
466 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS d'UNE SEULE VARIABLE.
de troisième espèce
du
la différence de deux semblables intégrales
/du C ^"' = a r ^" (« — a)v/R J (a + a)/K~^ J (m« — a«)/R'
qui est équivalente à la proposée parce que, R étant bicarré, leur somme
jlu du
est réductible aux intégrales circulaires, comme dans le cas mentionné au n*^ 416.
Au lieu du paramètre a, nous introduirons une racine quelconque a de l'équation X(x)= a, qui ne peut être congrue ni
à ± -, ni à ih ( - + — ) I parce que a est supposé n'être égal ni
à dr I , ni à dz ^, racines de R = o. Après la substitution (9), nous aurons donc à calculer
Chacune des fractions entre crochets est une fonction du second ordre aux périodes élémentaires o), co', et à infinis simples, à cause
de a non congru a±-»niaii:(--f- — );ces intinis sont
db a -+- m 10 -4- »i eu , — ip a -h m eu h- m w ,
les signes supérieurs donnant ceux de la première, et les signes
inférieurs ceux de la seconde, avec les mêmes résidus yt — '
__ «i , pour les infinis correspondants des deux fractions, à
cause des relations (19), (20) du n« 402, V.
En vertu du théorème du n° 347, la fonction sous le signe est
