CHAPITRE XII. — PONCTfONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

donc égale à

— Si(a7-ha)4-Hifar-4- a+ - M-+-H>,

Si ayant o), a>' pour fausses périodes, avec un premier augment que nous prendrons de suite nul. Le théorème du n° 350, qui est encore applicable, réduit cette expression à

Hi ayant maintenant —^ co' pour fausses périodes avec un premier augment toujours nul, et Ton a

parce que la fonction placée sous le signe / dans l'intégrale (lo)

s*évanouit pour 4:= — • En intégrant Texpression (11), il vient

pour notre intégrale (10), en se rappelant la définition de la fonction 3r (408)

rr^r/|f^^H-KJ + G (332,1),

et, pour déterminer K, on peut employer au lieu de (12) la formule équivalente

Ht-') -Htâ

419. Dans les applications numériques, les coefficients du polynôme ^(u) et de la fonction rationnelle F de Tinlégrale elliptique générale (6) sont naturellement réels; il importe donc de conduire sa réduction de manière à n'introduire aucune quantité imaginaire, et aussi à avoir pour le module Ar de l'intégrale de première espèce une valeur <^i, condition particulièrement avantageuse pour la construction de Tables numériques. Voici, en gros, comment on y parvient.

Dans la subslitution (2), s'il y a lieu de l'employer, od prend pour h une quantité réelle.

Quant à la s ubstituiion ( i ), on peut toujours s'arranger de manière que ses coefficients soient réels. Ils dépendent efiectivement de l'équation du deuxième degré (3), susceptible de trois formes difiérentes correspondant aux trois associations deux à deux possibles de trois racines choisies à volonté parmi celles de l'équation du

quatrième degré

Comme les coefficients de cette dernière sont réels, les trois cas suivants pourront seuls se présenter.