I. Les quatre racines sont réelles

En appelante, ef la plus petite et la plus grande (algébriquement), les valeurs (4) de a, p, y sont réelles, et l'on a p- — ay >>o à cause de la relation (5).

II. Il y a deux racines réelles et deux racines imaginaires conjuguées.

On prendra pour c, d ces deux dernières. Les quantités (4) sont encore réelles, avec ^^ — ay > o, parce que a — c^a — rf sont imaginaires conjuguées ainsi que b — c, b — d,

III. Il y a deux paires de racines imaginaires conjuguées. En constitujant les couples {ab)y (cd) avec ces deux paires respectivement, les quantités (4) sont toujours réelles, avec ^^ — ay >o, parce que les produits partiels (a — c) (a — d) el{b — c){b — d) sont imaginaires conjugués.

En opérant de cette manière, les coefficients A, m', m*' du polynôme bicarré (8) et ceux de la composante rationnelle F|, dans l'intégrale (7), ne peuvent manquer d'avoir des valeurs réelles; si, de plus, m', m" sont tous deux positifs, A l'est forcément aussi, sans quoi le radical serait imaginaire pour toutes les valeurs réelles de W|, ce qui ne peut se présenter dans une question pratique.

Arrivé là, on décompose l'intégrale en deux parties de la forme

J V?i("i) J V?i(Wi)

Ti, "F|, désignant des composantes rationnelles.