partie la forme canonique (p2(w2) = (i — "*)(' — f^^^^\)^ s^vec k

. réel et < I , en posant w, = ^(i/a), u étant une fonction algébrique

très variable avec les signes relatifs de A, m', m'', qui laisse fonc-

tion rationnelle de u\ le multiplicateur de ' sous le signe/.

/?i("î) Ces substitutions, au nombre de 5, n^ofTrent aucun intérêt théorique, puisqu'il s^agit simplement de satisfaire à certaines inégalités numériques. On les trouvera dans tous les ouvrages spéciaux sur les fonctions elliptiques.

Fonctions elliptiques canoniques auxiliaires {i(^)ou cnx,v(â7)

ou ànXy m{x) ou lux,

420. Dans les formules relatives à la théorie des fonctions elliptiques, l'usage a introduit d'autres fonctions du second ordre spéciales dont il nous faut parler encore.

On désigne par [x(j?) ou cnar, la fonction composée irrationnelle de '^{x) [écrite au lieu de X(:r, A")], que définit la formule

(1) jx(x)= /T-Ti^,

le radical partant en x ^ o, de la valeur initiale -i- i . Elle coïncide avec la fonction J^(^x) étudiée au n^ 393, en prenant

E(a^) = X(x), n=a>, û = uj', H= — I.

La relation a -\- b =^ c -\- d{= o) nous place dans le premier cas du numéro cité; [x(a:)est une fonction méromorphe du second ordre ayant

(1)1 = u>, Wj = 0) H

pour périodes élémentaires. Ses zéros sont les valeurs de x rendant X(4:)= ±: I ; ils sont congrus à i y suivant w, to', et aussi

bien à

suivant Wj, o)',. Ses infinis sont ceux de X(2:), congrus à — j

suivant co, co', et à

tO| (Oj 0)1 (i)i -4- to'j

suivant (Oi, co',.

La constante supplémentaire de p-(^), pour laquelle on peut prendre la somme des zéros diminuée de (Oi, est = o, d*où

421 . En conséquence, la fonction du second ordre jxf 7" "*" -^ ) *

aux périodes 0)4 , co'^ , a ses zéros et ses infinis congrus, les premiers à o, — ) les seconds à — > — -; déplus, elle seréduità[jL(o)= i

pour xz=-j. C^est donc une fonction elliptique X| , aux périodes

elliptiques (0|, iù\ (399). [1 est facile de calculer son multiplicateur g^ et son module k^ .

On a d'abord ^^, = V,(o)= |x'(- î^) = (i'(- ^) (397); la différentialion de la formule de définition (i) donne

v/i — X(ar)«

l'égalité V(o)= I (402, I), assujettissant ce radical à la condition initiale y/i — /r*'^X(o)^= i. Si donc on pose

en choisissant celle des deux déterminations de ce radical numérique, qui est la valeur finale en a: = t^= — y»^" radical

variable précédemment défini, on aura

gx = k\

Cette quantité A:' se nomme le module complémentaire de Ar, à cause de k^-\- k'^=\.