CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

On a enfin (399)

OÙ il faut choisir le signe ambigu de manière à obtenir la valeur

it> co'

de p-(^) en x = j + — • On en conclut

Al — :î: -jpj d'où

4ââ. Cette relation donne pour les transformations primaires de |iL(a?)

dont la première résulte encore de l'identité (24) du n^ 393. 423. La fonction v(j:) ou dnx se définit par la formule

avec la condition initiale v(o)= i. Elle coïncide encore avec la fonction «%(i:) du n° 393 en prenant

a=T, b = — jf c = i, rf=— -I, G = A:*,

E(x)=:X(a:), H = — A'«, mais ici

II = w-h2a)', 12 = 0)',

pour avoir des périodes appartenant aux associations (^6), (ac), des valeurs cardinales (391).

L'égalité a -j- è = c4- rf( = o) nous place toujours dans le premier cas du même n**393; v(a:) est encore une fonction méro-

472 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS d'UNE SEULE VARIABLE.

morphe du second ordre, ayant les périodes élémentaires co-f- 2 w', — h '2<i}'j auxquelles nous pourrons évidemment substituer

(i)j = 20) , CD, = —

Ses zéros, rendant )^(x) = ih t> sont congrus à ± f ^ -h ~ ] suivant (0, iù\ et à

suivant 0)2, (o^.

esinhnis, appartenant a À (:r), sont congrusa —^ — ; — suivant to, (11' et à

suivant (Oj, o).^.

Sa constante supplémentaire, somme des zéros ou bien des infinis, est congrue à o, et Ton a encore

v(— ar) = v(a?).

424. La fonction du second ordre v — (t"^")"^"^' *"^ périodes (1)2, co^, a, d'après ce qui précède, ses zéros et ses infinis congrus a o, — et -;^> — = -\ en outre, pour j; = -j = — , elle

réduit à v(-^) = v(^) = 4/i-A-^X/^y = A:'(421).0/ic/i

conclut que t? v — f ^ 4- ^ j + x e^/ une fonction elliptique y<^{x)^ ayant (i>2., (o^ pour première et seconde périodes elliptiques. Calculons encore son multiplicateur g^ et son module ^2.

On a

et de

(4) j-,v'(a:) = -gx(a:) ^jg^^=-gx(ar)(.(x).

se