CHAPITRE XII. — PONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

on déduit

diaprés la relation (3) où nous avons levé Tambiguïté du radical. On a de plus

d'où

et finalement

/ÎJ î^+ar) = it'X(qz »>,*').

425. D'après cela, les transformations primaires de v(x) sont

dont la première résulte encore de Tidentité (24) du n° 393.

426. Quand le multiplicateur g se réduit à i, l'équation différentielle de \{xy k) (397), combinée avec les définitions de |A(ic, A*), v(^, A") et les relations (2), (4), montre que ces trois fonctions peuvent être considérées comme les intégrales du système immédiat d*équations différentielles totales

dk du. ^ d^ ...

di = ^''' 35 = -^^' 55 =-*^''' complété par les conditions initiales

X = o, |x = v = i, pour x=o,

427. En adjoignant à '^{x, k) les fonctions [x(^), v(x) mentionnées ci-dessus, et quelquefois aussi

tli

fonction du second ordre aux périodes élémentaires -» 201', aux

transformations primaires de la forme simple du n® 395, impaire, ayant pour zéros ceux de )'(<^) et pour infinis ceux de fi'(<^), fonction que l'on représente encore par tn x, on a ce que Ton nomme plus spécialement les fonctions elliptiques; toutes dépendent uniquement du module k de la première. En imitant ce que nous avons fait pour celle-ci (406 et suiç.)^ le lecteur exécutera sans peine les développements de ces autres fonctions, dont la possibilité pour la fonction bipériodique la plus générale a été établie ou Chapitre X. Ceux en séries 'factorielles peuvent tous être formés au moyen de la fonction â du n® 408.

La structure si simple et si maniable des transformations primaires de X(x), son imparité, rendent son emploi particulièrement avantageux dans les calculs numériques relatifs aux fonctions bipériodiques. Ce sont ces motifs qui ont fait adopter les fonctions X pour type des fonctions du second ordre.

Les fonctions accessoires p., v, C7 (avec d^autres analogues) peuvent débarrasser les calculs de certains radicaux ambigus, et simplifier quelques formules; à cela nous semble se limiter leur importance qui est comme nulle en théorie. Auprès de X ( j;), elles occupent une place comparable à celle de cos:r, tang^ à côté de sina:; mais il ne faut pas forcer Tanalogie. Ces trois dernières fonctions sont liées très étroitement par le cercle qui en représente géométriquement les propriétés, et qui, en Mécanique, en Physique, joue un rôle absolument hors de pair (ceux de la droite et du plan toutefois exceptés). Rien de semblable n'existe pour les fonctions X, {jl, v, i7, • . . , dont la portée des propriétés relatives ne dépasse pas celle d'un artifice quelconque de calcul.