NOTIONS SUR LES FONCTIONS EULEBIENNE

Réduction de l'intégrale de première espèce à celle

de deuxième espèce.

4â8. Les transcendantes étudiées jusqu'ici provenaient, directement ou indirectement, d'intégrales indéfinies considérées comme fonctions de leurs variables principales; celles dont nous allons nous occuper, et auxquelles le grand nom d*Euler a été attaché, ont bien toujours l'intégration pour origine première, mais elles sont fonctions de variables paramétriques accompagnant la variable principale dans certaines intégrales définies artificielles (238* et suiv.). Leurs propriétés sont fort curieuses, ainsi que leurs points de contact, soit entre elles, soit avec le logarithme, l'exponentielle et les fonctions circulaires.

Pour établir leur existence, nous nous appuierons sur deux lemmes qui d'ailleurs sont utiles dans beaucoup de circonstances analogues, et que nous commencerons par démontrer.

T. Sur un chemin d'intégration {limité) où f(x) offre une phase singulière en x = ol seulement, l'intégrale définie artificielle ff{x) dx existe, s' il est possible d'assigner un exposant positif [JL < I (212), tel que le produit <^{x) = (x — ol)V-/(x) soit fini quand x tend vers a.

Nous supposerons pour fixer les idées^ que cette valeur singulière a est précisément la limite supérieure de l'intégrale considérée

Jf f{x)dx= I (x — a)-\i-^(x)dx, et en appelant q quelque exposant positif (entier si on le veut)

qui soit > > en opérant la subslitulion a: = a-}-/^, d'où

dx=iqt^-^dt^ puis en posant fo = (-2:o — 3t)^, nous changerons notre intégrale en celle-ci

dont le chemin d^ntégration est évidemment limité aussi, et, relativement à la fonction placée sous le signe, ne contient toujours que la valeur singulière ^ = o.

Or cette intégrale existe (242*, I), parce que la fonction placée sous le signe est maintenant finie pour limf =o; effectivement son second facteur ^(a 4- t^) est tel par hypothèse, et l'autre est infiniment petit à cause de (i — y-) 9 — ' > o (212 bis).

II. Quand f{x) est olotrope sur un chemin d'intégration conduisant x de Xq à l'infini^ mais cela d'une manière telle

que - parcoure en même temps un chemin limité, l'intégrale

définie artificielle

(i) J* f{x)dx,

prise sur ce chemin, existe sHl est possible d' assigner un exposant positif v > i , tel que le produit'W{x) = x^/{x) soit fini quand x s'éloigne indéfiniment sur ce chemin.

Nous supposerons d'abord que le chemin illimité en question ne contient pas la valeur ^ = o, et en opérant la substitution x= -i

d'où dx = — — dtf puis en posant ^o = — , nous changerons notre intégrale

/{x)dx=: / x-'^W{x)dx