CHAPITRE XIII. — FONCTIONS EULBRIENNES

dont le chemin d'intégration, limité par hypothèse, ne peut évidemment contenir d'autre valeur de t, qui soit singulière pour la fonction placée maintenant sous le signe, que / = o.

Or 2 — V étant < i algébriquement, à cause de i — v < o, il existe certainement quelque quantité positive [x comprise entre 2 — V et 1 , et le produit de cette fonction par /H- est fini en ^ = o ;

car son dernier facteur^*/-] est tel par hypothèse, et son autre

facteur ^i^-fî-v) a un exposant positif (212 bis). L'intégrale (2) existe donc (1) et, par suite, la proposée (i) aussi.

Si le chemin d'intégration illimité dont il s*agit contient la valeur x = o^ son partage en deux tronçons, l'un limité, l'autre illimité, mais ne contenant plus celte valeur, décomposera l'intégrale (1) en deux autres existant, la première parce qu'elle est naturelle, la seconde parce que les considérations précédentes lui sont devenues applicables.

429. En supposant x réelle non < o ni >- 1 , appelant />, q deux quantités positives quelconques et xP~^, (i — x)^~* les valeurs de e^^"*^'^, e(^-0/(«-x) correspondant aux déterminations réelles des logarithmes (212), on définit l'intégrale eulérienne de première espèce par la formule

(3; B(/?, <7)= f xP-Ui — x)i~idar,

où l'intégration doit être effectuée sur le segment de l'axe des quantités réelles, ayant a: = 0, :r = i pour extrémités.

La fonction à intégrer y( a:) cesse d'être olotrope seulement en ^ = o quand/? n'est pas un entier positif, et en ^ = i pour les mêmes valeurs de q (toc. ait,); mais cette intégrale artificielle n'en existe pas moins, car les inégalités algébriques i — p < i , i — 7 <C ' permettent évidemment d'assigner des exposants positifs u.o, [jL| inférieurs à i et tels que les produits xV-*/{x), {x — i)v-i/(x) soient finis, le premier pour Umx = o, le second pour lim^r = 1 (428, 1).

Il est évident que V intégrale {"i) est une quantité positive qui décroît toujours quand l'un des exposants p, q vient à croître; car si l'on a par exemple p'<Cp", on a aussi, pour toute valeur réelle

478 DKUXIBMB PARTIE. — FONCTIONS d'uNE SEULE VARIABLE.

de X comprise entre o et i ,

d'où, en intégrant de o à i, B(/?', y)>B(/?% q) (28). On a en outre

car la substitution de i — t \i x change la difTérentielle en

et le chemin d'intégration en ce qu41 devient quand on le parcourt en sens contraire.

430. Nous utiliserons incessamment les formules suivantes. I. Quel que soit V entier positif n, on a

L'intégration indéfinie par parties (270*), (83) donne

/xP(\ x^*i a r xP-i (i — x)*/ dx = — î i. -f- i I xP{i — x)9-^dx,

d'où, en remarquant que /?, q étant positifs le premier terme du second membre s'évanouit pour a; := o et = i (212 bis),

B(Pj q-hi)=^ 1 xP{i — x)9-^dx.

Si sous cette dernière intégrale on remplace un facteur x par I — (i — x)y elle devient

Ç xP-^(\ — xyi~'^dx— j xP-^(i^x)fdx=zB(p,q)-'B(p,q

et la relation précédente donne facilement (5) B{p,q^i)= -^n(p,q),

d'où la formule (4) en attribuant successivement à q dans celle-ci