II. On a

Pour y = I , la formule (4) donne effectivement

et Ton a évidemment

431. On définit Fintégrale eulérienne de deuxième espèce par la formule

(7) r(/>)= r xp-U'^dx,

/> étant toujours une quantité positive, et l'intégration devant être exécutée sur la partie positive de Taxe des quantités réelles. C'est encore une intégrale définie artificielle, parce que le chemin d'intégration est illimité, et que la fonction sous le signe entre dans une phase singulière en x = o, quand p n'est pas un entier positif. Pour nous assurer de son existence, nous appellerons x^ une quantité positive quelconque et nous la décomposerons en

xP-^e-^eix -h 1 xP-^e-^dx,

intégrales auxquelles les lemmes du n^ 428 sont applicables. Dans la première effectivement, la fonction à intégrer f{x) ne peut cesser d'être olotrope qu'en x = 0] mais, comme ci-dessus (429), on peut toujours trouver un exposant [jl>>o et < i, qui rende le produit x^/{x) fini pour lima: = o. Dans la seconde, f{x) est toujours olotrope, et, si l'on appelle v un exposant quelconque, le

produit x'*f{x)= — - — est toujours infiniment petit, à plus forte

raison fini , pour une valeur de x infinie positive ; ceci résulte de la discussion de ce rapport qui n'offre aucune difficulté {Cf- 207).

Il est évident que l'intégrale (7) est toujours une quantité positive.

Des discussions précédentes, on conclut encore que les intégrales (3), (7) ne cessent pas d'exister quand />, q sont des quantités imaginaires à premiers éléments positifs. En développant, soit (i — :r)^~* en série entière par rapport à x, soit xP~^ en série entière par rapport à j; — 1 , puis intégrant terme à terme les séries en lesquelles cette opération transforme les fonctions à intégrer, on prouverait facilement aussi que ces mêmes intégrales sont infinies dans tous autres cas. Mais ces constatations nous sont inutiles.

432. U intégrale eulérienne de deuxième espèce se rattache à celle de première espèce par la formule

(8) V{p)=\\m[nPÏ^{p, /n-i)],

où II désigne un entier positif qui croit indéfiniment.

La substitution x ^ - donne immédiatement

Jf xP-Hi — xYdx=— I tP-ni ) dt

c'est-à-dire '

nPB{p, /i-+-i)= Vn(p),

en posant, pour abréger,

Pour toute valeur positive et fixe de ^, et pour toute valeur de n supérieure à /, la quantité positive

croît avec n en tendant vers e~'pour n infini (C/. 213), à cause de