On a (10) ro>) = iimr

^ ' ^ Vp (/>H-0(/'-+-a)...(/>-+-/i)J

Cette formule, qui est fondamentale dans la théorie de la fonction r(/>), est une conséquence immédiate de celles inscrites sous les n*** (6) et (8) ci-dessus.

M. — II. 3i

434. V intégrale de première espèce s'exprime au moyen de celle de deuxième espèce par la formule

I. Pour toutes valeurs (positii^es) de p^ Çj et pour n infini, on a

Quand 9 = i , la chose est évidente.

Quand g est un entier >• i , la formule (4) donne, par la substitution de /i -i- I k q elàe q — i à /i,

B(/), 71 -4- ç') nn-i n-\-7. n-^q — i

B(/?, /i-+-i)~/?-+-/i-i-i p-hn-\-'i p-k-n-^q — 1

et chacune de ces q — i fractions tend vers i.

Quand q est compris entre les entiers non nuls Q'<CQ% on

et le rapport considéré est compris entre les fractions

Bip^n^Q^ B(p, n -+- Q^) B{p,n-hi)' B(/j,n-hi)

•qui tendent toutes deux vers 1 par ce qui précède. Quand enfin ^ est <C i, on tire de la relation (5)

B(p, n -h g) p -h n-^- g B(/?, n-h y-f- 1) B(/>, /i-Hi) "~" n-^g ' B(pj n-^i)

moyennant quoi les choses se passent de la même manière à cause de gr -i- I ^ I .