Voici un corollaire important du théorème du n

Pour prouver quUine fonction sue {d* autre part) indéfiniment méromorphe se réduit à une constante, il suffit de constater que, pour aucune valeur finie ou inf nie de œ, elle ne peut, soit prendre quelque valeur donnée, soit devenir inf nie.

Celte observation fournil un moven d^invesligalion des plus précieux dans la ihéorie des fonctions indéfiniment méroniorphcs. Comme toute fonction composée, à composante rationnelle, de pareilles fonctions y*i (x), ^^(j:), . . . est aussi indéfiniment méromorphe, on pourra trouver toutes les relations rationnelles pouvant lier celles-ci les unes aux autres, en formant simplement avec elles toutes les expressions rationnelles non susceptibles de devenir infinies, ou bien d'atteindre telle valeur déterminée. Une hypothèse particulière simple faite ensuite sur la valeur de x donnera la valeur C de la constante à laquelle se réduit une expression de cette espèce, û[/i (a:), fi{^')i • . •]» et

iif/.(>),/2(.r), ...]=G

sera l'une des relations cherchées. La théorie des fonctions circulaires et elliptiques ((^hap. VII et suiv, inf,) mettra mieux en lumière l'extrême utilité de ce principe.

50. Les fractions rationnelles forment la variété la plus intéressante de la classe des fonctions indéfiniment méromorphes. Elles se distinguent par deux particularités à noter.

L Pour chacune, les zéros et les infnis sont en nombres essentiellement limités. Car, en appliquant la formule (a) du n" 13 à la décomposition des polynômes entiers servant de termes à une fraction rationnelle donnée /(x), en produits de puissances de binômes linéaires, puis en supprimant, s'il y a lieu, tout facteur

4 DEUXIÈME PARTIE. ~ FONCTIONS d'UNB SEULE VARIABLE.

commuD, on met/(j;) sous la forme

c'est celle du n° 31, particularisée par celte circonstance que le facteur complémentaire f{x) se réduit ici à la constante A. Les zéros ai, . . . , ag du numérateur sont ceux de /{j^) et ceux du dénominateur a^ , • . . , Oy sont les infinis de cette fonction, les uns et les autres aux mêmes degrés /7i| , . . . , U| , ....

II. La fonction 'f{x') =/(—, j est méromorphe en x' = o. En appelant effectivement IVf la différence

(mi-h/wj-f-. . .H- nig) — (jxt-h fji, -♦-. . .-4- (jiy)

des degrés effectifs du numérateur et du dénominateur de /(^), il vient immédiatement

'f(x'\— — V 0 — «1 J^'V"' « . . (i — a,fX')'»9 J'< f x'^' (I — aia:')l*«...(i- «yar'jl^T '

et, pour x^ = o, le produit des deux derniers facteurs est olotrope et non nul (= A). Cette valeur nulle de x' est pour 'f{x^) un zéro ou un infini de degré de multiplicité zp M, selon que M est ^o. Uapplication de la formule (9) du n° 37 à la fonction '/(x') et à son infini x' = o donne une série procédant suivant les puissances de x'j à exposants entiers d'abord négatifs. En y remplaçant x'

par -> on trouve pour /(:c), relativement à des valeurs infinies

de .r, un développement procédant suivant les puissances de x k exposants entiers décroissants et d'abord positifs. Il peut être considéré comme un cas particulier de ceux que nous étudierons aux jjos jgj ^^ suii^. (in/,),

51. Quand l'inversion arithmétique des variables (148*) transforme une fonction en une autre jouissant de certaines propriétés pour des valeurs nulles des nouvelles variables, on dit volontiers, pour abréger et imager le langage, que la fonction donnée jouit des propriétés en question à l'infini.

On pourra donc formuler la dernière observation ci-dessus, en