CHAPITRE II. — FONCTIONS KÉROMORPHES

disant (\\\^ une fonction rationnelle est toujours méromorphe à V infini, olotrope même quand M < o; que dans ce dernier cas elle y a un zéro de degré — M ; qiCelle y a au contraire un infini de degré M, 5t M > o.

52. Ea supposant fi^x") rationnelle, Papplication de la formule (i4) du n*' 39 à la totalité des infinis de cette fonction donne un lerme complémentaire fy{x) qui est nécessairement rationnel comme excès de la fraction rationnelle /{x) sur la somme des fractions simples commençant le second membre, et qui par son origine est dépourvu de tout infini ; il se réduit donc à quelque polynôme entier (pouvant être identiquement nul)

(7) AqxV- -^ AixV--^ -h . . .-h A

et la formule considérée fournit ce qu'on nomme la décomposition de/{x) en fractions simples.

La recomposition du groupe des seules fractions simples donne une fraction rationnelle dont le numérateur a un degré nécessairement inférieur à celui de son dénominateur; celle de tout le second membre de la formule de décomposition reproduit la fraclion rationnelle proposée. On en conclut facilement que le polynôme additionnel (7) est précisément le quotient de la division algébrique du numérateur de f{x) par son dénominateur.

Si donc M est < o, c'est-à-dire si le degré effectif du numérateur de/(:r) est inférieur à celui de son dénominateur, ce poljnome se réduit identiquement à o, et la décomposition de f{x) ne donne absolument que des fractions simples.

Si ces degrés sont égaux, on a [x= o, et le polynôme en question se réduit à une constante. Comme, pour j? infinie, la somme des fractions simples est infiniment petite, la valeur de cette constante est égale à la limite de f{x), c'est-à-dire au rapport des coefficients des termes de plus hauts degrés dans les deux termes de cette fonction.

Si le premier de ces degrés surpasse le second, on a |jl = M.

53. C'est au moyen de la division algébrique que l'on calcule le plus volontiers le polynôme additionnel (7); mais on peut aussi

i4 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS D*UNB SEULE VARIABLE.

Tobtenir par un procédé analogue à celui qui a fourni chacun des groupes de fractions simples.

Le changement de variable j^ =: — , exécuté dans celle même formule (i4) du n° 39, donne facilement

Ay'2r>.-i , ^ a;,»Li

(»)?Ap!

et l'expression entre accolades est évidemment olotrope en wc' = o. Les fractions simples venant à la suite de cette expression sont

donc celles qui dans la décomposition de —>/[—>) correspondent

à rinfini x' de cette nouvelle fraction rationnelle; et la méthode du n** 37 fournira leurs numérateurs, c'est-à-dire les coefficients du polynôme (7).

51. Les observations du n^oO ont des sortes de réciproques fort utiles à connaître.

Si une fonction indéfiniment nié romo rphe f{x) possède des zéros et des infinis en nombres limités, elle est nécessairement rationnelle, quand pour aucune v>aleur infinie de x le rapport

n'est, soit infini, soit infiniment petit, M désignant ici l'excès de la somme des degrés de multiplicité des zéros sur celle des degrés des infinis.

En appelant <7|, . . . , a^ les zéros de f{x), et a,, . . . , a «- ses infinis^ puis mi, . . . , nig les degrés des uns, [jl,, . . . , [Ay ceux des autres, le rapport

est, d'après le n" 31 , une fonction indéfiniment olotrope, dépourvue de tout zéro proprement dit. Pour des valeurs infinies de x, il se