I H IH J H

par ( — ^~) ' ^^ comme cette dernière quantité tend vers i quelle

que soit x^ il nous suffît de prouver que cette série a un produit indéfiniment méromorphe. Nous pourrions raisonner directement, en nous appuyant sur le théorème général du n** 371 ; mais ici, il vaut mieux procéder indirectement comme il suit.

II. En appelant v un entier positif choisi à volonté, puis suppo-

sant /i > V, mod^c^v, - et mod- sont -< i , et l'on a

\ nj \ n) n 2/1* i

,/ x\ X x^ / IH- - = ^

\ nJ n 2/1'

OÙ les logarithmes sont, dans la première formule, celui qu'il nous faut adopter, dans la seconde celui que nous adopterons; et à l'intérieur du cercle [v]qui a l'origine Ox pour centre avec v pour rayon, ces deux fonctions sont olotropes, avec des olomètres, illimité pour la première, égal k n — v pour la seconde, par suite toujours égaux à i au moins.

En appelant Un le (/i-h i)»*"« facteur de la série (2), on aura ainsi

fonction encore olotrope dans le cercle [v], avec un olomètre égal à I au moins quel que soit /t >> v. Dans le même cercle en outre, on a évidemment, quelle que soit x,

^ ' /i*L '^ 3(v-m) 4(v-hi)* J*

quantité positive où la série entre crochets est visiblement convergente, et qui est elle-même le terme de rang n dans une série convergente (273, I).

On en conclut (275* bis) que, dans le cercle [v], la série

(3) /(Mv4-!)-+-/(«V4-i)-4-...

a pour somme une fonction de ^, /v+i (^)j qui y est olotrope avec I pour olomètre, puis, en repassant des logarithmes aux nombres, que l'on a

fonction de x encore olotrope dans le même cercle avec le même olomètre.

Le produit Fv^i(a?) des (v4-i) premiers facteurs de la série factorielie (2) étant d'autre part une fonction de x évidemment méromorphe à l'intérieur du même cercle, cette série a un produit

qui jouit de la même propriété, qui, par suite, est indéfiniment méromorphe, puisque le rayon v de ce cercle est arbitraire.