III. La fonction r(a:) na aucun zéro

Car le premier facteur de l'expression (4) n'en a point, ni le second non plus dans le cercle [v] comme nous l'avons déjà dit(-I).

Il en résulte que =^-;t est une fonction indéfiniment olotrope;

elle l'est effectivement aux infinis de T{^x) puisque celle-ci y est méromorphe (42), puis partout ailleurs comme inverse arithmétique d'une fonction qui y est olotrope sans s'évanouir (2S0*, II).

IV. L'expression (i) étant, quel que soit /i, réelle pour toute valeur réelle de x, et positive pour toute valeur positive de x^ il en est de même pour sa limite ^{x).

Quand x est réelle, cette fonction ne peut changer de signe qu'aux moments où x passe par ses infinis, puisqu'elle ne peut s'évanouir (III) ^ et alors son signé change effectivement, parce que tous ces infinis sont simples (I). Comme elle est positive de a: = o à X = 4-00, elle est donc négative de o à — i, redevient positive de — là — 2, etc.

On a

à cause de

437. De ce que nous avons dit tout à l'heure (435, II), et du n° 275* bis, il résulte que la série (3) est de celles qui peuvent être indéfiniment différentiées ou intégrées terme à terme. En considérant donc r(a:) comme le produit de la série factorielle (2), et prenant les logarithmes comme nous l'avons fait, il vient

/r(ar)=/(i)4-/(wi)-+-.--+^(w«)-t-.--»

puis en différentiant une fois

dlT{x) r(x)

dx