CHAPITRE XIII. — FONCTIONS BULÉRIENNES

On a d'autre part, pour /i >o,

OÙ

et la série

(8) Ci-h Cj -4-. . .~h Cn -^. . .

est convergente, à cause de

^""^ a (/i-t-i)« I ^(/i-hi)»'

terme général d^une série convergente (273, I). En faisant donc la substitution (7) dans le terme général de la série (6), sommant à part les quantités cn et représentant par — C + 1 la somme de la série (8), la formule (6) prend la forme suivante, qu'on lui préfère,

I dx r(x) \l Xj \2 \-\-xJ

La quantité C, valeur de — r'(i) à cause de r(i) = 1 , est positive ; des artifices que nous ne pouvons rapporter donnent effectivement

On la nomme la constante d^Euler,

438. En différentiant encore l'une ou l'autre des relations (6), (9), on arrive à cette autre

, ^ d^lTix) I I 1

dx^ X* (ar-hi)* (a?-f-/i)«

très simple et très employée aussi dans les questions se rattachant à la théorie de la fonction F.

Elle donne des indications utiles à la discussion de T{x) pour

des valeurs réelles de x. Comme alors son second membre est

essentiellement positif quand il n'est pas infini, dont il est la

dérivée est une fonction toujours croissante ne pouvant par suite éprouver qu'un seul changement de signe, en s'annulant, entre deux infinis consécutifs de r(j:), de o à +<x) aussi, et r'(j:) jouit de la même propriété parce que r(j:) conserve un signe constant dans chacun de ces intervalles.

D'ailleurs ce changement de signe unique s'eflectue toujours : i" entre o et + oo, pour une valeur (x de j; comprise entre i et a, parce que r(a:) — i s'évanouissant pour j: = i et = 2 (436, IV), (439, t/i/.), sa dérivée r'(j;) s'annule certainement dans cet intervalle (23)^ 2® entre — i et o, parce que, e étant une quantité positive infiniment petite, r(j7) est infinie négative, partant croissante en :r = — i + e^ infinie négative encore, partant décroissante en x= — e; etc.

De a: = oà a; = jjL, r(j:) décroît donc de +00 à un certain minimum (positif et <C 1 ), pour croître sans cesse ensuite de x = ia à J?= +00, et cela indéfiniment (439, /n/*.).

439. Nous passons aux propriétés spécifiques de cette fonction.

On a V identité (II) r(a:-M) = a?r(jr).

Car la formule (1) donne immédiatement

n(x-+-i, ri) n

n(a7, n) ar-h n -h 1

où le dernier facteur tend vers i .

Quand x est un nombre entier positif N, cette identité combinée avec l'égalité (5) conduit immédiatement à

moyennant quoi T[x) augmente sans limite pour des valeurs positives de x indéfiniment croissantes (438).