CHAPITRE II. — FONCTIONS MF.nOMORPIIF

présente d'ailleurs sous la forme

c, T, ëlant des infiniment petils. Si donc l'expression (9) n'est, par exemple, infinie ponr aucune valeur infinie de x, il en est de même pour celte dernière fonction ololrope qui se réduit ainsi (8) à quelque constante A; d'où pour/(j:) la forme rationnelle (6). De même, pour le cas où l'expression (9) ne serait infiniment petite pour aucune valeur infinie de j:, ceci d'après le n° 9.

53. Si la fonction indéfiniment méromorphe f{x) possède des infinis en nombre limité, elle est encore rationnelle quand elle est méromorphe même à V infini (ol).

En vertu de celte dernière hypotlièse, et en appelant [jl quelque enlier positif, on a (37)

'f{x') représentant une fonction olotrope et nulle en x'=o^ ou bien en revenant à la variable x

(10) /{x) — {XoX\i--h A,.rlA-i -+-. . .-+- Ajx) = f(x),

cette dernière fonction étant comme /{oc) indéfiniment méromorphe avec les mêmes infinis, mais, de plus, infiniment petite pour toutes valeurs infinies de x.

L'application de la formule (i4) du n'^ 39 à la décomposition totale de f{jr) donnera donc

^ désignant la somme des groupes de fractions simples correspondant aux divers infinis de f(^), et fy{x) une fonction indéfiniment olotrope. Mais cette dernière, difi'érence des fonctions f{x) et S toutes deux infiniment petites pour x infinie, l'est aussi, par suite non infinie -, elle dégénère donc en une constante (8), et celleci se réduit à zéro puisque nous venons de constater que fY(^) est nulle pour x infinie.

La combinaison des relations (lo), (i i) donne ainsi

f{x) = 2 H- Ao^rlA-f- A,:rl*-»-l-. . .-f- \^,

formule entraînant ce quMl fallait prouver.

En recomposant le second membre en une fraction rationnelle irréductible, on aperçoit immédiatement que le degré de celui des deux termes où il est le plus grand est égal à p. augmenté de la somme des degrés de multiplicité des infinis de/(2:).

Principes du Calcul des résidus.