CHAPITRE II. — FONCTIONS MÉROMORPHES

moyennaDl quoi la formule (lo) du numéro cité donne

Quand, au lieu d^élre un infini de/(^), a est une valeur ordinaire de X, cette définition ne s^applique plus à rien. Mais alors la série de Tajlor peut être considérée comme un cas particulier du développement (i), caractérisé par les conditions numériques

, Ao = A| = . . .= Aj|.-i = 0,

et il est permis de continuer à dire que le résidu existe, mais quUl est nul. Cette fiction peut être utile comme celles des n®'3 et 33. Dans une aire S où f{x) est méromorphe avec des infinis en nombre limité, on nomme résidu intégral de cette fonction la somme de ses résidus partiels, relatifs à tous les infinis qu'elle y possède. Ce résidu intégral se représente par une notation analogue à

Quand f{x) est décomposable en deux facteurs '/(^), V("^)î méromorphes dans Taire S, n'y ayant chacun aucun infini qui soit pour l'autre un infini ou bien un zéro, on a quelquefois à considérer la somme des résidus partiels de cette fonction, correspondant aux infinis de l'un seulement de ces facteurs. Cette somme se représente alors par

en renfermant entre des crochets trapézoïdaux celui des facteurs dont il s'agit.

57. Si, en appelant f\{x)^ /a(^)) • • •? fk{x) des fonctions méromorphes, et a^^ a^^ . . . , an autant de multiplicateurs constants, on a identiquement

(2) /(^) = «i/i(^)H- a,/,(ar) -+-. . .-h a*/fc(ar),

on aura aussi

(3) J^/(^)=«i^/i(a?)-l-a,J^/,(a7)-4-...-ha*^/* x).

48 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'UNE SEULE VAniABLE.

Celle égaillé esl évidenle quand il s'agit de résidus parliels relatifs à un même infini a des fondions considérées; car, à cause

de la relation supposée (2), le coefficient de dans le dévelop-

pementde/(.r) en série procédant suivant les puissances de (x — a) à exposants entiers, les premiers d'abord négatifs, est égal à la somme des produits par les multiplicateurs ai, a^, . . ., ak des mêmes coefficients dans les développements semblables àefi{x)j

En ajoutant ensuite membre à membre celles qu'elle fournit pour les divers infinis que les fonctions considérées peuvent offrir dans une même aire S où elles sont toutes méromorphes, on obtient la même relation entre les résidus intégraux de ces fonctions, pris dans l'aire dont il s'agit.

S8. Quand une fonction méromorphe dépend de plusieurs variables indépendantes, on peut naturellement 'la différentier, rintégrer et aussi prendre son résidu partiel ou intégral, par rapport à telles ou telles de ces variables. Il y a toujours, entre toutes ces opérations, V indépendance que nous avons constatée entre les deux premières seulement (158*, 224?* et suiv,)^ chaque fois quà partir des valeurs particulières considérées pour les variables indépendantes la /onction est développable en série, procédant suivant les puissances à exposants entiers, les premiers éventuellement négatifs, des excès à modules suffisamment petits, des valeurs courantes des variables sur leurs valeurs initiales. Il nous suffira d'établir ce principe dans les cas simples que voici.