CHAPITRE II. — FONCTIONS MÉROMORPHBS

II. On a encore, sauf détermination convenable des quantités arbitraires

Par hypothèse, en effet, la fonction considérée est de la forme

/(^ir) = (^ — «)~^[«o,o-+-«i,o(^ — a)4-ao,i(7--J^o)-^...l;

on a donc

d'où, pour le premier membre de la relation (4), l'expression

'C(x) étant une fonction arbitraire de x. On a de plus

"(^{x) étant une autre fonction arbitraire de x^ qu'il faut supposer méromorphe, d'où, pour le second membre de la même relation, Texpression

évidemment contenue dans la précédente (4 bis),

La formule (4) s^ applique évidemment à des intégrations définies exécutées sur un même chemin parcouru par y.

III On a enfin

car les deux membres ont évidemment pour valeur commune le M. - n. 4

coefficient du monôme -, ^ 5-7 dans le développement dont

nous supposons /(j:,j^) susceptible.

IV. II est clair que toutes ces relations, établies pour des résidus partiels, s'étendent d'elles-mêmes au cas de résidus intégraux pris, pour chaque variable, dans une même aire limitée,

59. La somme des fractions simples qui figurent dans la formule de décomposition {\^) du /i*' 39 a pour expression

ce résidu intégral embrassant tous les infinis de f{t) qui, considérés comme valeurs de x^ tombent dans l'aire S.

La considération du développement (i) donne d'abord par définition

(6) Ap,i=X f(x) = l fit),

car les deux derniers membres de ces égalités sont évidemment la même quantité représentée par deux notations d'aspects différents. Comme Ajjt-a est le coefficient de dans le développement analogue de (x — a)/( jr), on trouve encore

puis de même

A, =r (<-«)ti-'/(o-

L'addition membre à membre des égalités (6), (7), (8) multipliées préalablement par (:c — a)-*, {x — a)-^, (a: — a)-», ..., }x — a)~^) donne ensuite successivement, en ayant égard aux