CHAPITRE II. — FONCTIONS MBROMORPHBS

diverses règles contenues dans la formule (3), A > Ai Ajx I

t=OL

fit)

= / [(^ — a)l*-»-+"...-h(x— a)(f — a)(A-2-+-(f — a)!*-M , = r (r — g)t*--(/ — g)t* fit)

Effectivement, comme a est un inflni de degré [jl de /(O, le produit (/ — a)f*/(^)estolotrope en ^= a (33), ainsi que la fonction de t figurant sous le second signe X de Pavant-dernier

membre de cette suite de relations, et ce résidu partiel s'évanouit (56).

La somme des fractions simples qui commencent le développement (i) étant ainsi égale à la partie du résidu (5) qui correspond à rinfini f == a, la somme des divers groupes semblables, correspondant respectivement à tous les infinis de f{x) contenus dans Taire S, est bien représentée par ce résidu intégral.

60. Le Calcul des résidus n'a pas l'importance de ces théories qui dominent de vastes parties de l'Analjse, mais il a fourni quelques formules d'une rare élégance. Voici celles dont nous pouvons parler en ce moment.

Si/(^) est une fraction rationnelle, le résidu (5), étendu à la totalité des infinis de cette fonction, donne naturellement la somme de toutes les fractions simples provenant de sa décomposition (52). Mais le polynôme entier

(9) k^xV- -\- kxx}f-- -f-...-HA|i,

qui accompagne éventuellement ces fractions, peut aussi être représenté par un résidu. Effectivement, l'application des considérations du numéro précédent au calcul du groupe de fractions simples qui terminent le second membre de la relation (8) du n^ 53,

52 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS d'UNB SEULE VARIABLE.

conduit à

d'où, en multipliant les deux membres par x^ et remplaçant x'

par -I

On a rfonc la formule

(.0) /(.)=rL^+r Mi)),

oà /e premier résidu doit être étendu à toutes les racines de l'équation entière obtenue en égalant à zéro le dénominateur de /{t). Elle fournit pour la décomposition totale de/(x) un procédé mécani(jue n'ayant pas une valeur inférieure à celle de tout autre. Le second résidu se réduit naturellement à zéro, quand le degré du numérateur de /{x) est moindre que celui de son dénominateur.

61. Nous savons que le polynôme (9) est précisément le quotient de la division algébrique du numérateur de /{x) par son dénominateur (52).

En appelant donc D(^), d{x) deux polynômes entiers quelconques, la formule

QW = £,

permet de développer par de simples dijférentiations le quotient Q^{x) de la division algébrique du premier par le second.

62. Dans le cas d'une seule variable, l'énoncé suivant est le plus général que l'on puisse donner du problème de V interpolation, dont la solution trouve des applications si utiles dans les calculs