CHAPITRE II. — FONCTIONS MÉROMORPHES

numériques et aussi dans la représentation par des formules appro* chées, des phénomènes naturels dont les lois mathématiques ne sont pas exactement connues :

Etant donnée une fonction ?(.^), olotrope dans l'aire S, et étant nommées

(il) a^i, Xf, ..., Xft

n valeurs particulières (inégales ou non) de x tombant dans cette aire, tromer un polynôme entier ^n{x) de degré inférieur à n^ tel qu'on ait toujours

, . ( <p„(ar/) = tp(a-/), <p;(a7/) = ^'(^/)»

ki désignant généralement le nombre de celles des quantités (1 1) qui ont xi pour valeur commune.

Le polynôme fA(^) existant certainement et étant unique (411*), nous n'avons plus qu'à le calculer par un procédé quelconque. Posons

(i3) t3i{x)'=.{x -'Xi){x — Xi).. .(^X — Xn),

polynôme de degré /i en or; à cause de la formule (lo) du n** 37, à cause aussi des conditions (12) combinées avec la nature de la forme générale des dérivées d'ordres quelconques d'une fraction, exprimées en fonctions composées diOTérentielles des deux termes, il est évident que, dans l'aire S, la décomposition des deux fonctions méromorphes

w(a7)' ci>(a?)

donne les mêmes groupes de fractions simples (39). On a donc (59)

parce que le degré du polynôme cp/i(^) étant essentiellement inférieur à celui de b>(a:), la décomposition de cetle dernière fraction rationnelle ne donne que des fractions simples (52), qu'ainsi le

second membre de la formule (lo) se réduit au premier des deux résidus qui le composent.

La relation précédente conduit à

et le développement de ce résidu fournit immédiatement le polynôme cherché (fn(x).

63. La considération de la relation (8) du n^ 53 permet de calculer facilement le résidu intégral d'une fonction rationnelle, qui joue quelque rôle dans certaines questions.

Pour des valeurs de a?' sufGsamment voisines de zéro, les fractions entre accolades sont évidemment développables en séries entières par rapport à x\ et la somme de tous leurs développements, jointe aux fractions simples extérieures aux accolades,

fournit le développement de —/(->) en série procédant suivant

les puissances croissantes de x^ à exposants entiers, les premiers négatifs,

Mais comme, d'une part, toute fraction entre les accolades, si le degré de son numérateur surpasse zéro, ne fournit à ce développement que des termes de degrés positifs, comme, d'autre part, les fractions extérieures aux accolades ne fournissent que des termes de degrés négatifs, Ap^^,, terme constant de ce développement, se réduit nécessairement à la somme A|4*jl i+ A[iî|Li4-. . «-hAjJ^Li des termes constants dans les développements des dernières fractions des diverses lignes du groupe intérieur aux accolades, c'est-à-dire au résidu intégral de /(x). On obtiendra donc ce résidu en cherchant, par un procédé quelconque, le coefficient A,juj.i du terme de degré zéro dans le développement (i4)'

Le cas particulier suivant procure immédiatement la solution de tous les autres.

Pour