CHAPITRE II. — YONCTIONS MER0M0RPHB

01/ m est un entier positif quelconque^ où b){x) est le polynôme (i3) rfe degré /i, on a

(l5) £^/(x)=o ou —Zm-n-^-u

selon que

m <C. n — 1 ou oon < n — i ,

Sm-/i+i représentant dans ce dernier cas la somme de tous les monômes entiers dissemblables en ^i, ^2, . . . , Xn^ qui sont du même degré m — n-\- i et qui ont i pour coefficient commun.

Comme ici, on a évidemment

1 fl\\ ^ __} \

le terme constant dans le développement du second membre en série procédant suivant les puissances de x^ à exposants entiers, négatifs et positifs, est égal au coefficient de x'**""**"* dans le produit des sommes des séries entières en x^

I — XxT

- = n-aria?'-ha?îa:'«-t-. . .,

7 = I -^x„X*-hXlx'*-h..,,

I ^~" Xéê X

c'est-à-dire à zéro ou à llm^n+tj selon que m — n + 1 est négatif on non.

La formule (i5) s'établirait facilement encore par voie de vérification progressive, en prouvant qu'elle est vraie pour des valeurs données des entiers m, n^ si elle l'est pour toutes les combinaisons de valeurs moindres.

64. On en conclut notamment que si dans f{x) Vexcès du degré effectif du dénominateur sur celui du numérateur est >> i o// = I, le résidu intégral a pour valeur, dans lèpre-mier cas zéro, dans le second, le rapport des coefficients des

56 DEUXlàXB PARTIE. — FONCTIONS d'UNK SEULE VARIABLE.

plus hautes puissances de x dans les deux termes de cette fraction rationnelle.

6S. En appelant généralement Jît,» le coefficient de {x — x^)^ dans le développement en série procédant suivant les puissances Ae X — Xo à exposants entiers, négatifs puis positifs, de la fonction méromorphe/(a?) ayant l'infini Xq de degré |Ji, on a évidemment

fiT^

Cette observation, que nous avons déjà mise à profit au n° 59, s'applique d'elle-même au cas de |jl = o, c'est-à-dire oiif{x) serait olotrope en x^. Elle fournit ainsi, pour les coefficients du développement par la formule de Taylor d'une fonction d'une seule variable, une autre notation qui rend dos services d'une utilité appréciable dans certaines circonstances. L'exemple le plus saillant est fourni par les formules de Cauchy pour l'intégration des équations différentielles linéaires à coefficients constants, dont nous aurons à nous occuper dans la troisième Partie de cet Ouvrage.