FONCTION RADICALE SIMPLE

Règle de convergence de Oauss.

66. Cette règle, d'ailleurs fort belle en elle-même et fort importante, nous sera utile plus tard (243, 273, iVi/.); nous en plaçons la démonstration ici, parce que nous aurons besoin, dès ce Chapitre, de quelques-unes des propositions sur lesquelles elle s^appuie.

Soit hn une variante réelle infiniment petite qui finit par conserver un signe constant, et posons

Vn =(l -+- A,)(l + A,) . . . (H- hn),

en admettant qu ^ aucun facteur de ce produit ne se réduise à o. Si la série

(l) Ai-H /l, -H. . .-+- An-I-...

est divergente, le produit P„ est infini ou infiniment petit pour n infini, selon que le signe final de hn est + ou -.

Supposons d'abord d'un même signe tous les termes de la série (i).

S'ils sont positifs, sa somme est infinie (102*, I), et P/i à plus forte raison, à cause de P^ > i 4- A| 4- Aa + • • • -1- h».

S*ils sont négatifs et tous << i en valeurs absolues, l'inégalité évidente i — (db A/,)^ < i donnera

puis

Pn<

(i-Ai)(i-A,)...(i-A«) où le diviseur est infini par ce qui précède.

58 DEUXIÈXE PARTIE. — FONCTIONS D'UNB SEULE VARIABLE.

Quand'les termes de la série (i) n^ont pas tous un même signe, ni des valeurs numériques <^i, ils finissent néanmoins par satisfaire à cette double condition, et Ton raisonne de la même manière en négligeant pour un instant ceux des premiers facteurs de P» qui ne la remplissent pas.

67. La règle que nous allons établir repose sur la comparaison des séries qu'elle intéresse avec la suivante

où Ton a

f'k\ 1?/^ /. „\ (^-Hi)(«'4-^)-..(a-4-/i)

expression dans laquelle a, b désignent deux quantités réelles invariables ne se réduisant ni l'une ni l'autre à un entier négatif, qui, par suite, est toujours réelle et conserve un signe constant à partir du moment où a + n, 6-1-/1 restent positifs. La nature de cette série est déterminée par un théorème dont voici Ténoncé.

Quand on a {algébriquement)

la série (2) est convergente, et sa somme S', son reste R^, sont donnés par les formules

Quand on a au contraire

la somme de ses n premiers termes est infinie ; par suite, il y a divergence.

L Pour n infini la variante (i), qui conserve la valeur con^

stante 1 quand a = b est, infinie ou infiniment petite selon

qu^on a