CL O -T- I

En appelant A, B des valeurs inégales quelconques des paramètres a, 6, l'égalité évidente

F(A, B, N)- F(A, B, N -i)= ^^ F(A, B + i, N -i) donne généralement

F(A, B + i, N-i)= ^^ [F(A, B, N)-F(A, B, N-i)], puis en particulier

F(a-Hi, ^ + 1, N-i)= ^^^^^ [F(aH-i, b. N)-F(a + i, b, N-i)],

après les attributions A = a + i , B = 6 autorisées par la condition (7).

Cette autre égalité évidente

donne donc

60 DBUXIKXE PARTIK. — FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE.

d'où l'on tire la relation (8) en faisant successivement N = /i H- i , /i -H 2, . . . , /i +/?, puis sommant.

IIL Dans le cas spécifié par l'inégalité (4)) la condition (7) est remplie, et la formule (8) donne pour la somme S)^ des n premiers termes de notre série, écrite

l'expression

S;.= ^ -r- -^^~ [F(a -hi, b, n)~F(a-M, 6, i)]

qui, pour n infini, tend vers

parce que la condition (4), ou bien (a -h i) — 6 < o, donne

limF(a H-T, 6, /i) = o (I).

De là résultent la convergence de la série, ainsi que la formule (5). La suivante (6) se déduit de la relation (8) en y faisant/; infini, puis en remarquant qu'alors le premier terme de la différence entre crochets tend vers zéro, toujours à cause de

IV. Pour a — 6 > — i , la condition (7) est encore remplie, et la formule (8) conserve sa validité. Mais comme alors on a

le premier terme de la différence entre crochets est infini avec n (I), S)^ aussi, et par suite il j a divergence.

V. Pour a — b= — i, la formule (8) devient illusoire; mais alors b ne peut s'évanouir puisqu'on suppose a non entier négatif,

F(ûr, 6, n) se réduit à ^^ » et notre série à

dont la somme est infinie (98*).