Dans une série

fl-T- . .

(9) 1*1-+- Mj-f-.. .-f- U,

dont les termes finissent par être réels avec un signe invariable, le rapport -^^ du terme de rang /i 4- i à celui qui le précède est une quantité variable qui finit par rester réelle positive, et qu^on peut ordinairement considérer comme une certaine fonction 11 ( - )

de la quantité positive — infiniment petite pour n infini.

Quand cette fonction tend vers une certaine limite p non = i, la série (9) est convergente ou divergente selon que p>i; car, en appelant p'une quantité positive comprise entre p et i, on finit

par avoir 1fl(i)<p' (102% VI).

Quand on a p = i , nous ignorons ce qui se passe ; mais le théorème de Gauss répond à la question dans un cas très vaste qui est

lui-même renfermé dans celui plus étendu oà TA(-jJinitpar

être développable en une série entière par rapport à -• Nous démontrerons effectivement la proposition suivante.