Quand on finit par avoir

les coefficients g^, g^i - • . étant naturellement réels, la série (9) est convergente ou divergente selon qu*on a

ou

I. Dans le premier cas on peut trouver une quantité réelle g\ donnant (algébriquement)

moyennant quoi le rapport (10) finit évidemment par demeurer

62 DSUXIKME PARTIE. — FONCTIONS D'UNB SEULE VARIABLE.

inférieur à la quantité, finalement positive aussi,

n \ n / . ^i n — ffi

qui, pour n suffisamment grand, est précisément le rapport du (n — G -h i)*^"® terme au précédent dans la série dont

est le terme général; G désigne ici quelque entier positif choisi assez grand pour que les quantités G — i , G — g\ — i ne se réduisent ni Tune ni Pautre à un entier négatif.

Cette dernière série étant convergente (67), parce qu'on y a

a = G — I, 6 = G-/r'i — I, d'où

la proposée (9) l'est également (102*, IV), et Ton obtient immédiatement une limite supérieure de la valeur absolue de son reste, en combinant les formules (9) du numéro cité et (6) ci-dessus.

II. Dans le second cas, appelons 0 une quantité réelle non égale à un entier négatif et satisfaisant à l'inégalité algébrique

Pour la série à termes finalement positifs

0 -M 6 H- «A " 6 -+- /t le rapport du (n 4- i)**^"* terme au précédent,

finit par rester inférieur au rapport (10), même quand g\ = — 1 . Cette série étant divergente (98*), la proposée l'est forcément aussi (102*, V).