CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

au n®69, semble indiquer pour critérium de la convergence ou de divergence d'une série telle que (9), la nature spécifique de la

fonction 11( — ) pour les valeurs infiniment petites de -• De plus

il épuise la question dans le cas où cette fonction est olotrope

 ce point de vue, il resterait donc à étudier les séries à termes positifs, classées diaprés les phases singulières de diverses natures, dans lesquelles 11 (- ) peut entrer en - =0.

Nous ne pouvons nous engager dans cette discussion ; mais, dans un cas comprenant celui où cette phase est de nature rhizomorphe (153, inf.)^ on peut formuler la règle suivante :

Si Vonfinit par avoir

ou les exposants d, e^^ ... sont des quantités positives croissantes quelconques (212, in/.), et où les coefficients (réels) Gj, G2, . . . sont tous différents de o, la condition nécessaire et suffisante pour que la série (9) soit convergente est qu'on ait e<?i, avec Gi<;o dans le premier cas, G| <; — i dans le second. Sa démonstration ressemble beaucoup à la précédente.

Propriétés générales de la fonction radicale simple.

71 . Nous allons étudier les fonctions implicites u de x, engendrées par la résolution de chacune des équations entières à deux termes seulement, de degré quelconque /n^o,

La première est binôme par rapport à la fonction inconnue </, et se change en la seconde par la substitution à n d'un entier négatif. Nous pouvons donc la considérer exclusivement, à condition d'admettre que l'exposant n peut y prendre indifféremment des valeurs

64 DEUXLIEME PARTIE. — PONCTIONS D'CNB SEULE VARIABi.E.

positives et négatives. CVst ce que nous ferons désormais pour plus de commodité.

Ces fonctions sont les plus simples des irrationnelles algébriques (32*) (303*), et jouent un rôle extrêmement important dans la théorie des fonctions implicites, ainsi que dans tout le reste de l'Analyse.

L'application des principes généraux (307* et siiiv.) à ce cas particulier conduit tout d'abord aux conclusions suivantes.

I. On peut, cela même d'une infinité de manières, trouver une paire de quantités Xq, Uq qui ne soient nulles ni l'une ni l'autre et satisfassent numériquement à l'équation (i).

Il suffit effectivement de choisir arbitrairement une quantité non nulle w^, puis de prendre Xq = wJ,", Uo= «vJ; car les égalités évidentes Xq= iv„""= //J* donnent

(2) uy*--a:3 = o.

Nous aurions pu dire encore que, pour une valeur quelconque Xo de x^ l'équation (i) se change en une équation numérique entière à une seule inconnue u^ qu'ainsi elle admet au moins une racine Uo (13), et remarquer que Uq ne peut être nulle si Xq ne l'est pas. Mais il est tout aussi simple, et nous jugeons préférable, de rendre nos raisonnements indépendants de la théorie générale des équations.