CHAPITRE HT. — FONCTION RADICÂLK SIMPLE

autres quantités positives choisies, comme on le peut évidemment, de manière à satisfaire aux inégalités

si n est positif, ou bien

si n est négatif, puis enGn S„ l'aire annulaire comprise entre les deux circonférences ayant l'origine 0« pour centre commun avec i>', \j" pour rayons respectivement, aire évidemment limitée qui contient I/o, mais non le point u ^=o.

Comme le premier membre de l'équation (i) est olotrope à l'intérieur des aires Sx, Sa, comme d'autre part sa dérivée première par rapport à w se réduite mw*""*, fonction qui, quelle que soit x^ ne peut s'évanouir que pour a = o, valeur extérieure à Su, la fonction implicite u existe et reste localement olotrope aussi longtemps que sa valeur ne s'échappe pas de l'aire S« (310*). Or c'est ce qui arrive aussi longtemps que x ne franchit pas les limites de l'aire Sj., car on y a les inégalités constantes

{'<modar <t'

dont la combinaison avec les précédentes (3) ou (4) et l'équation (ly donne constamment aussi

u'< modu < u*.

III. A partir de toute valeur initiale de x^ x/^o, le développement de la fonction implicite u par la formule de Taylor admet au moins modxi pour rayon de convergence (Cf. 78, III, inf).

Car u est localement olotrope à l'intérieur de tout cercle décrit de x/pour centre avec un rayon quelconque inférieur à modxi (H) ; de plus, elle est monodrome dans cette aire parce que celle-ci est imperforée (173*), et partant olotrope, à proprement parler (201*).

IV. Pour toute valeur de x y^o^ et quel que soit V indice  , on a

OÙ nous avons posé pour abréger

— = fji.

On trouve d'abord (311*)

du nx'*-^ .r'» j— * u

à cause de Téquation fondamentale (i).

Il vient ensuite pour une valeur quelconque de l'entier q

d u __ i du " \ ''

'dx'xh " 'xh'dx^^ x-/^ — ( l^ — î' ) — fTî

relation dont la combinaison avec la précédente différentiée indéfiniment conduit a celle que nous avons en vue.

V. Si donc on appelle Ui la valeur atteinte par u en j: = x/, la formule (5) donne pour le développement de celte fonction par la formule de Taylor à partir de x^

(Ui X — Xi

en posant généralement pour abréger

m mCm — i)...(m — X-^-i) , (7) o(m, n-;)=:n £-f-...H j -' <*-h

VI. Si [JL se réduit à un entier positif {ou nul), la fonction u est encore olotrope en a; = o, par suite indéfiniment (II). Sinon elle y entre dans une phase singulière, en y étant méromorphe (29) quand jx est un entier négatif, mais non méromorphe dans tous les autres cas.

Dans le premier cas, tous les termes du développement (6) qui sont postérieurs au (uL-f- i)*'™® contiennent le facteur nul (ix — jjl); ce développement se réduit donc à un polynôme entier en {x — Xi) de degré [x, et Ton a évidemment

/ X — xAV- ui