CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

Si u était olotrope en a; = o en dehors de ce premier cas, elle serait développable par la formule de Maclaurin

où nous avons écrit seulement le terme effectif de moindre degré;

on en déduirait

et l'équation (i) donnerait Tidentité

Or cette dernière est impossible ; car, si n est négatif, le second membre n'est pas olotrope en j: = o, tandis que le premier Test; si n est positif, l'identité des termes effectifs de moindres degrés dans les deux membres exige en particulier que l'on ait

mq = n,

d'où — = [jL = <jr = un entier positif, contrairement à l'hypothèse. Quand [x est un entier négatif, on trouve comme tout à l'heure

" = -Ji ^^y

monôme infini, mais méromorphe, en j? ^^ o (1S2*).

Quand [jl n'est pas un entier, u n'est pas méromorphe et infinie en X = o, parce que son inverse arithmétique, racine de l'équation binôme

où le rapport n'est pas un entier non plus, n'est pas ololropc

eo j; = o, comme nous venons de le constater (42).

VII. Hors le cas oà (x est un entier non négatif, mod Xi est le rayon de convergence maximum du développement (6).

Car si ce développement admettait un rayon de convergence R >► modo:/, la fonction w, qui serait alors olotrope dans tout l'intérieur du cercle ayant a:i pour centre avec R pour rayon, le serait

en particulier en x = o, point intérieur à ce cercle. Or nous venons de constater le contraire {Cf. 78, III, in/,),

VIII. La fonction u ne peut s'évanouir pour aucune valeur de X non = o.

Ce fait est rendu évident par l'équation fondamentale (i); il résulterait encore d'un raisonnement identique à celui du n^ 80, IV {inf.).

72. Nous discuterons la série (6) pour les valeurs de x tombant sur la circonférence de centre xi et de rayon = modo;/, en posant

OÙ mod6=i, et en mettant les termes postérieurs au premier sous la forme générale

i Ui (-f^-i-^O^-!^ — i-^a)...(— {X — f-f-A-) Q^

( =M^F(-{jL-i,o, A:)e^

où F désigne l'expression numérique définie au n** 67.