III. Si [Ji est négatif, il y a plusieurs cas à distinguer

Quand j? = o, la série (6) est divergente avec une somme infinie ; on a eiïectivement 0= i, et la série (9) a une somme infinie à cause de ( — |x — i) — o> — i (67, IV).

Quand xnon = o, le second facteur de l'expression (8) est infiniment petit, constant (= i) ou infini, pour k infini, selon qu'on a( — [X — i) — 0 = 0, c'est-à-dire (jl| — i (67, I).

Dans les deux derniers cas la série (6) est divergente parce que son terme général n'est pas infiniment petit. Mais dans le premier elle est convergente à cause de modO = i avec 8 non = i, parce que le second facteur dont il s'agit finit par conserver un signe constant et par décroître numériquement sans cesse (100*).

La combinaison de ces conclusions avec le théorème du n^ 126* montre que, même dans ces cas extrêmes, la série {&)^ pourvu qu'elle soit convergente, a toujours pour somme la valeur acquise par la fonction u au bout d^un chemin ayant xi et x pour derniers sommets. En x ^=0 toutefois, il faut avoir égard à ce que nous dirons plus bas (103, inf^ sur la variation de la fonction u qui, en général, n'y est plus olotrope.

73. Nonobstant ce qui vient d'être observé, nous n'emploierons jamais le développement (6) que sous la condition de rigueur

mod(27 — ir/)< mod:r/.

En procédant ainsi nous aurons toujours des séries de convergence certaine, et surtout nous ne serons pas exposés à atteindre la valeur :r = 0 pour laquelle notre fonction cesse habituellement d'être olotrope.

Sur un même chemin donné, issu de la valeur fondamentale x^ de x^ la valeur de la fonction u ne dépend jamais que de celle de

la fraction — > nullement de la forme de cette dernière, et aussi de

sa valeur fondamentale u^ qu'on peut choisir de plusieurs ma-

70 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS B'uNE SEULE VARIABLE.

nières ; c'est ce qui résulte des diverses observations faites au n** 71 . Nous représenterons donc provisoirement la valeur que u acquiert en X par

en sous-entendant qu'il s'agit d'une valeur fondamentale de u et d'un chemin, tous deux préalablement définis.

74. La plupart des propriétés générales de la fonction /résultent des combinaisons variées des formules fondamentales que nous allons établir.

Si, appelant x'^ x"^ , . .yX^^i^ g variables indépendantes cheminant arbitrairement à partir des valeurs fondamentales x'f^f xl, . . ., xf\ on représente par

les déterminations de la fonction /( — y xj gui correspondent aux valeurs fondamentales

t/' II" iM^

et si K', K", . . ., sont g exposants entiers de valeurs et de signes quelconques, on a Videntité

le premier membre étant, bien entendu, la valeur de la fonction u =f( — y Xj au bout du chemin décrit à partir de

par

cette Jonction u partant de la valeur fondamentale

En élevant à la m**"* puissance le premier membre de la rela-