CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

tion (lo) et chacun des facteurs du second, on trouve le même résultat {a^^' x^^\ . .)", à cause de l'identité de définition

Il en résulte que ces deux membres sont des racines de la même équation en U

(II) lI'«-(x'K'a^Kv..)« = o,

dont le premier membre est fonction olotrope de U et des g variables indépendantes x'^ x*' ^ . . . , x^s) puisque chacune de ces dernières ne prend jamais la valeur o. D'autre part, les valeurs initiales des deux membres de la relation (lo) sont égales par hypothèse, de plus non nulles, et par suite n'annulent pas mU'"~* dérivée première par rapport à U du premier membre de Téquation (i i). Ces deux racines de l'équation (i i) sont donc égales quelles que soient x\ od\ . . ., x^s) (310*), ce que nous voulions prouver.

75. En appelant K|, K^, . . ., K^ des exposants entiers de valeurs et de signes arbitraires, on a, au bout d'un même chemin quelconque issu de Xq, l'identité

1 "^ \ mi m^ " nig J

pourvu seulement que cette relation ait lieu numériquement

en X — Xq»

Si, posant

M = m* //*• . . . ntip, Ml = — > • • • > M«. ~ — »

on élève à la M^^™* puissance le premier membre mis préalablement sous la forme équivalente (73)

Kl Ml /Il -f-. . .-4- K^M^n^

et les divers facteurs du second semblablement transformés, on

72 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS d'UNE SEULE VARIABLE.

obtient les résultats identiques

En d'autres termes, ces deux membres sont des racines de la même équation

dont les valeurs fondamentales en j:© sont égales. D'où l'on achève la démonstration comme ci-dessus (74).

76. Si —, est une autre fraction à termes entiers, le second positif, on a au bout d'un chemin quelconque lUdentité

pourvu toujours quen Xq cette relation ait lieu numériquement.

On raisonnera de la même manière, après avoir observé qu'en élevant le premier membre à la puissance m'""®, puis à la puissance m*^'"*', et le second à la puissance (mm')*^"*, on obtient les résultats identiques (a;")"' et ^r'*''*.

Quand —7 se réduit à un entier, cette relation équivaut à un cas

particulier de Pidentité (12).

77. Les énoncés se simplifient, les résultats s'élargissent en

même temps, par la substitution à la fonction implicite/^ — > x j ,

d'une antre pseudo-fonction au moyen de laquelle elle s'exprime très simplement.

Moyennant l'égalité (2) l'équation fondamentale (i) peut s'écrire

\Uo/ \XoJ ~^'

d'où la formule évidente

(i3) f(^,x) = u = uo^l^f — Jj