II. Pour ^ = o, et aussi pour VXz=o, on a toujours

III. Sauf le cas ou VX est un entier non négatif, la série (7) a I pour rayon de convergence maximum.

Car alors elle est illimitée, aucun de ses coefficients ne pouvant s'évanouir, et le rapport du (Âr + i)'ènic terme au A^®™® se réduit à

k ^' quantité dont, pour k infini, le module a pour limite mod^, quel

que soit Ht. Si donc modt est >• i, le module du terme général finit par croître sans cesse, et il y a divergence. Si l'on a au contraire

mod / < I ,

le module du terme général est fini parce qu'il arrive à décroître sans cesse. D'où Ton conclut (114*) que la série admet pour rayon de convergence toute quantité positive inférieure à i, par suite i aussi.

IV. La série {'])p6ut être mise sous forme d\ine série entière en ni, t indistinctement, dont les rayons de convergence sont le premier illimité, le second = i .

Si M, T désignent les modules de lit, /, la somme de ceux des termes élémentaires du développement du terme général de notre série en un polynôme entier par rapport à tit, f est évidemment

M(M -hO...(M-4-A- — 0 ^f,

c'est-à-dire le terme général de la série <p( — M, i — t). Cette dernière étant convergente quel que soit M pour t < i (IH), le point en question est une conséquence immédiate du théorème du n» 107*.

En ordonnant cette série par rapport à lit, et posant ainsi

(i4) tp(m, 1 -•- 0 = I -t- Aim-h Ajm»-f-. . .,

les coefficients Ai, A2, • . . sont des fonctions de f, d'une forme très simple que nous indiquerons tout à l'heure (80, in/.).

79. La/onction ^1 (ttt, :r) se réduit toujours à ,x^, pour Ht entier (positif ou négatif). Car, par définition, son premier développement (f (nt, I H- 07 — I ) est alors en fait celui même de ce monôme, construit par la formule de Taylor à partir de a: = i (177*).

A l'aide du lemme suivant nous lui étendrons immédiatement, pour toutes valeurs de Ht, les propriétés générales trouvées aux n®* 74 et suivants, pour des valeurs réelles commensurables de ce paramètre.