CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

Soient

un polynôme entier de degrés m^ n, ... par rapport aux h variables x^y^ . . . , e^

yu r«i •••» y^^

h groupes de M"^ niyîi'^n, ... valeurs numériques de ces diverses variables, dans chacun desquels deux quelconques sont inégales. On a identiquement

si l'on a numériquement

(i6) V{xt,yj, ...)=o,

pour toute combinaison de valeurs des indices «, y, ....

Pour /t = i, le point en question a été établi antérieurement (412*, II). Si ensuite on le suppose démontré pour h — \ variables, et si Ton nomme

(«7) Po(7» •••)» Pl(j^i---). --M P/nO'» •••)»

les coefficients de i, x^ . . ., x^ dans P(j:, ^, . . .) ordonné par rapport à x^ les conditions (i6), jointes à ce que nous venons de rappeler pour A = i, montrent qu'on a les égalités numériques

pour toute combinaison de valeurs des A — i indices y, .... L'hypothèse faite àrinstanl entraîne donc la nullité de tous les coefficients des polynômes (17) et par suite l'identité (i5), puisque l'ensemble de ces coeiBcients est précisément celui des coefficients de P(:r, y y . . .).

Notre théorème démontré directement pour h = i s'étend donc aux cas de A = 2, 3, ....

On en conclut immédiatement l'identité

P(^iri ••.) = n(ar,7, ...),

si P, n sont deux polynômes entiers de degrés inférieurs à M, N, . . . , qui donnent lieu aux égalités numériques

* (^ô yji . . . ) = u (^1, yjj . . . )•